Analyse de l'énoncé

Cet exercice pluridisciplinaire, bien que tiré d'une session de Brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de Première Spécialité Mathématiques. Il se présente sous la forme de quatre affirmations indépendantes à valider ou infirmer. L'enjeu ici est double : la maîtrise technique des outils de calcul (trigonométrie, équations, pourcentages, probabilités) et la rigueur de la justification mathématique.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs concepts clés doivent être maîtrisés :

• Trigonométrie : Savoir identifier les côtés dans un triangle rectangle et utiliser les rapports sinus, cosinus ou tangente. Ici, la reconnaissance du triplet pythagoricien (3, 4, 5) permet d'affirmer la nature du triangle.
• Second degré : Comprendre la notion de racine d'un polynôme. Tester si un nombre est solution consiste à évaluer l'expression pour cette valeur.
• Évolution et pourcentages : Maîtriser le passage du taux de variation au coefficient multiplicateur ($CM = 1 - r/100$).
• Probabilités simples : Comparer des fréquences théoriques en ramenant les fractions au même dénominateur ou en utilisant l'écriture décimale.

Correction détaillée

Affirmation 1 : Trigonométrie

Dans le triangle ABC, on observe que $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ et $BC^2 = 5^2 = 25$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Pour calculer l'angle $\widehat{ABC}$, on utilise la tangente : $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4} = 0,75$. À l'aide de la calculatrice, $\arctan(0,75) \approx 36,869...$ soit environ 36,9° au dixième près. L'affirmation est Vraie.

Affirmation 2 : Équation du second degré

Substituons $x$ par 3 dans l'expression $x^2 + 2x - 15$ : $3^2 + 2(3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 15 - 15 = 0$. Le résultat étant nul, le nombre 3 est bien une racine du polynôme. L'affirmation est Vraie.

Affirmation 3 : Pourcentages et prix

Une remise de 30 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 - 0,30 = 0,70$. Soit $x$ le prix initial. On a $0,70x = 49$. En isolant $x$, on obtient $x = \frac{49}{0,70} = 70$. Le prix initial était de 70 € et non 63,70 €. L'affirmation est Fausse.

Affirmation 4 : Probabilités

Calculons la probabilité de tirer une boule rouge dans chaque urne :
Urne 1 : $P_1 = \frac{35}{35+65} = \frac{35}{100} = 0,35$.
Urne 2 : $P_2 = \frac{19}{19+31} = \frac{19}{50} = \frac{38}{100} = 0,38$.
Comme $0,38 > 0,35$, on a effectivement plus de chances de gagner avec l'urne 2. L'affirmation est Vraie.