Analyse détaillée du Sujet de Brevet de Mathématiques 2022 (Métropole, Session de remplacement)
Le Diplôme National du Brevet (DNB) est l'étape clé de la fin du collège. L'examen de Mathématiques de la session de septembre 2022 en Métropole, souvent utilisé comme sujet de révision avancé, proposait un éventail classique mais complet des compétences requises en fin de Troisième. Ce sujet équilibré teste à la fois les automatismes en calcul et la capacité à modéliser des situations concrètes.
Les notions mathématiques essentielles abordées
Ce sujet couvre de manière exhaustive les cinq grands domaines du programme :
- Calcul et Automatismes : L'Exercice 1 (QCM) exige une parfaite maîtrise des puissances, de la simplification de fractions, du développement d'expressions (Calcul littéral) et de la résolution d'équations produits nuls.
- Algèbre et Modélisation (Fonctions) : L'Exercice 2 utilise les fonctions pour comparer des tarifs de location de voiture. C'est l'occasion de travailler la résolution d'équations (point d'égalité des tarifs) et la Lecture graphique pour interpréter les résultats.
- Géométrie Plane et Espace : L'Exercice 5 (Tyrolienne) est une épreuve de géométrie appliquée très riche, mobilisant le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du câble, la Trigonométrie pour vérifier la conformité de l'angle, et le théorème de Thalès (ou Triangles semblables) pour déterminer où les pieds touchent l'eau.
- Statistiques et Proportionnalité : L'Exercice 4, basé sur un tableau de données (Tableur), sollicite la capacité à calculer la moyenne et l'étendue d'une série. Il intègre également un calcul crucial de Pourcentages d'augmentation, compétence fondamentale au Brevet.
- Algorithmique et Programmation : L'Exercice 3 ne se contente pas de géométrie pure (Transformations), il demande d'analyser et de corriger des scripts Scratch pour dessiner un cerf-volant, soulignant l'importance croissante de la pensée algorithmique.
Analyse par exercice
Exercice 1 : Le QCM des automatismes
Ce premier exercice, sans justification requise, est un test rapide de vos acquis fondamentaux. Attention particulière aux règles des Puissances et à la méthode de résolution des équations de type $(ax+b)(cx+d)=0$. La dernière question sur les Probabilités (ne pas tirer une boule noire) nécessite de bien comprendre le calcul des événements contraires.
Exercice 2 : Location et Fonctions Affines
Cet exercice est l'archétype des problèmes de modélisation économique. Il demande d'abord des calculs numériques simples pour comparer les trois tarifs. Ensuite, il formalise ces tarifs en fonctions ($l(x)$, $m(x)$, $n(x)$). La partie graphique est essentielle : le tracé des droites permet de visualiser rapidement la zone où un tarif est plus avantageux qu'un autre, notamment en trouvant l'intersection entre le tarif « Voyage long » et les autres.
Exercice 3 : Géométrie et Scratch
La Partie A porte sur le pavage et les Transformations (symétrie axiale, identification d'une rotation ou translation). La Partie B est entièrement dédiée à l'Algorithmique-programmation. Pour valider le script de l'élève (Essya), il est indispensable de se souvenir que dans Scratch, les angles de rotation correspondent aux angles extérieurs de la figure à dessiner. La justesse des valeurs (173 pas et 300 pas) révèle des propriétés géométriques cachées du cerf-volant.
Exercice 4 : Statistiques et Réalité
En utilisant un contexte réel (péage de l'Île de Ré), cet exercice valide la capacité à manipuler le Tableur (formule SOMME) et les outils statistiques de base. Le calcul du pourcentage d'augmentation est souvent source d'erreur s'il n'est pas correctement basé sur la valeur initiale (celle de 2020). La question finale introduit les Grandeurs composées, demandant une conversion rapide de m/min en km/h.
Exercice 5 : La Tyrolienne et la Trigonométrie
L'apothéose du sujet réside dans ce problème de géométrie. La vérification de la réglementation (angle < 30°) est un exercice classique utilisant la Trigonométrie (tangente). La longueur totale du parcours est calculée grâce à Pythagore. Enfin, le calcul de la distance DC après l'arrivée de Lya implique l'utilisation du théorème de Thalès (ou Triangles semblables) pour trouver la position relative.
Conclusion : Conseils pour réussir ce type de sujet
Ce sujet de Brevet 2022 nécessite une grande polyvalence. Pour maximiser votre score : assurez-vous de maîtriser les bases du Calcul littéral et des Fonctions. En Géométrie, la capacité à identifier la bonne propriété (Pythagore, Thalès, Trigonométrie) en fonction des données disponibles est cruciale. Enfin, entraînez-vous régulièrement aux exercices de Tableur et d'Algorithmique, qui représentent une part significative de la note.