Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, permet de travailler des compétences fondamentales en mathématiques de Première Spécialité, notamment la modélisation de situations réelles et la manipulation d'unités de mesure (vitesse, distance, temps). La problématique centrale consiste à déterminer une vitesse moyenne nécessaire pour respecter un horaire précis, en s'appuyant sur une lecture attentive d'un affichage GPS complexe.
Points de vigilance et notions requises
Pour résoudre ce problème, l'élève doit maîtriser plusieurs étapes logiques :
- Lecture de données : Identifier les segments de route pertinents sur le schéma entre l'entrée sur l'autoroute (sortie n°11) et la sortie finale (sortie n°3).
- Calcul de durée : Soustraire des horaires pour obtenir une durée en minutes, puis convertir cette durée en heures décimales.
- La relation fondamentale : Appliquer la formule $v = \frac{d}{t}$ en veillant à la cohérence des unités (km et h pour obtenir des km/h).
Correction détaillée et guide de résolution
Étape 1 : Calcul de la distance totale parcourue sur l'autoroute.
D'après le schéma fourni, la distance entre la sortie n°11 et la sortie n°3 est la somme des distances intermédiaires :
$D = 16 + 16 + 6 + 13 = 51$ km.
Notez que la valeur '7' située après la sortie n°3 vers le péage ne doit pas être comptée puisque Mélanie quitte l'autoroute à la sortie n°3.
Étape 2 : Détermination de la durée impartie pour le trajet autoroutier.
Mélanie a rendez-vous à 17 h. Il lui faut 3 minutes pour aller de la sortie n°3 au point de rendez-vous. Elle doit donc arriver à la sortie n°3 au plus tard à :
17 h 00 - 3 min = 16 h 57.
Sachant qu'elle entre sur l'autoroute à 16 h 33, la durée $T$ de son trajet sur l'autoroute doit être de :
16 h 57 - 16 h 33 = 24 minutes.
Étape 3 : Conversion de la durée en heures.
Comme la vitesse est demandée en km/h, convertissons 24 minutes en heures :
$T_{heures} = \frac{24}{60} = 0,4$ h.
Étape 4 : Calcul de la vitesse moyenne.
En utilisant la formule $v = \frac{d}{t}$ :
$v = \frac{51}{0,4} = 127,5$ km/h.
Mélanie doit donc rouler à une vitesse moyenne de 127,5 km/h pour arriver exactement à l'heure à son rendez-vous.