Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de niveau fin de collège, constitue un excellent support pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs bases en analyse fonctionnelle. Il traite de la modélisation d'un phénomène physique (la distance en fonction du temps) à l'aide de représentations graphiques et de fonctions linéaires. En Première, ces concepts évoluent vers l'étude de la dérivation (vitesse instantanée) et des suites arithmétiques (évolution linéaire à intervalles réguliers).

Points de vigilance et prérequis

• La lecture graphique : Il est crucial de bien identifier les axes. L'axe des abscisses représente le temps en minutes, tandis que l'axe des ordonnées représente la distance en mètres. Une erreur d'unité peut fausser tout le raisonnement.
• Vitesse moyenne vs Vitesse instantanée : En mathématiques, la vitesse moyenne entre deux instants $t_1$ et $t_2$ correspond au coefficient directeur de la sécante à la courbe passant par les points d'abscisses $t_1$ et $t_2$. C'est le taux de variation : $\frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$.
• Caractérisation de la proportionnalité : Une fonction traduit une situation de proportionnalité si et seulement si elle est de type linéaire ($f(x) = ax$), ce qui graphiquement se traduit par une droite passant par l'origine.

Correction détaillée de l'exercice

1. Lecture graphique :
a) La distance totale correspond à l'ordonnée du dernier point de la courbe. Pour $t = 45$, on lit $d = 2000$ mètres.
b) Pour les $200$ premiers mètres, on cherche l'antécédent de $200$ sur l'axe des ordonnées. On trouve $t = 5$ minutes.

2. Étude de la proportionnalité :
La courbe représentative du nageur 1 n'est pas une droite unique mais une ligne brisée. Les pentes des segments $[0;10]$, $[10;30]$ et $[30;45]$ sont différentes. Par conséquent, la distance n'est pas proportionnelle au temps sur l'ensemble de la course.

3. Calcul de la vitesse moyenne :
La vitesse moyenne $v$ est donnée par $v = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}$. Ici, $v = \frac{2000}{45} \approx 44,44$ m/min. La valeur est bien d'environ $44$ m/min.

4. Analyse du nageur 2 :
La fonction est $f(x) = 50x$.
a) $f(10) = 50 \times 10 = 500$. L'image de $10$ est $500$.
b) $f(30) = 50 \times 30 = 1500$.

5. Comparaison des performances :
a) À $t = 10$, le nageur 1 a parcouru $400$ m (lecture graphique) et le nageur 2 a parcouru $500$ m. C'est le nageur 2 qui est en tête.
b) À $t = 30$, le nageur 1 a parcouru $1600$ m (lecture graphique) et le nageur 2 a parcouru $1500$ m. C'est le nageur 1 qui est en tête.

Lien avec le programme de Première Spécialité

Cet exercice préfigure la notion de dérivabilité. Si la courbe du nageur 1 était une fonction $d(t)$, sa vitesse à un instant $t$ exact serait donnée par la dérivée $d'(t)$. Ici, nous travaillons sur des vitesses constantes par intervalles, ce qui permet de comprendre la notion de pente (ou coefficient directeur) avant d'aborder la limite du taux d'accroissement.