Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences transversales essentielles pour la Première Spécialité Mathématiques. Il balaye plusieurs domaines : l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers), la géométrie plane (transformations), le calcul numérique (fractions), la géométrie dans l'espace (volumes) et enfin la trigonométrie.
Points de vigilance et notions requises
- Arithmétique : Savoir diviser successivement par les nombres premiers (2, 3, 5, 7...).
- Priorités opératoires : La multiplication est prioritaire sur l'addition dans le calcul fractionnaire.
- Volume de la sphère : La formule est $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Attention à bien utiliser le rayon ($R = D/2$) et non le diamètre.
- Trigonométrie : Utilisation des fonctions inverses (Arctan, Arccos ou Arcsin) pour trouver la mesure d'un angle dans un triangle rectangle.
Correction détaillée
1. Décomposition de 360 :
360 est pair : $360 = 2 \times 180$
180 est pair : $180 = 2 \times 90$
90 est pair : $90 = 2 \times 45$
45 est divisible par 3 : $45 = 3 \times 15$
15 est divisible par 3 : $15 = 3 \times 5$
D'où : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
2. Géométrie et Transformations :
a. L'image de BEJ par la symétrie d'axe (BD) est le triangle BGF.
b. Translation E vers B (vecteur $\vec{EB}$) : Le triangle AMH devient le triangle EFM.
c. Pour passer de AIH à AMD, il s'agit d'une homothétie de centre A et de rapport 2.
3. Calcul fractionnaire :
$\frac{7}{2} + \frac{15}{6} \times \frac{7}{25} = \frac{7}{2} + \frac{3 \times 5 \times 7}{2 \times 3 \times 5 \times 5} = \frac{7}{2} + \frac{7}{10}$
On réduit au même dénominateur : $\frac{35}{10} + \frac{7}{10} = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$.
4. Volume de la Lune :
Le rayon $R = 3474 / 2 = 1737$ km.
$V = \frac{4}{3} \pi \times 1737^3 \approx 2,195 \times 10^{10} \text{ km}^3$. La réponse correcte est la D.
5. Trigonométrie dans RST :
Le triangle est rectangle en S. Pour l'angle $\widehat{STR}$ :
$\tan(\widehat{STR}) = \frac{RS}{ST} = \frac{10}{24} \implies \widehat{STR} \approx 23°$.
Alors $\widehat{SRT} \approx 90 - 23 = 67°$.
Périmètre : $10 + 24 + 26 = 60$ mm.
Aire : $(10 \times 24) / 2 = 120 \text{ mm}^2$.