Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu de la session 2023 en Amérique du Sud, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane. Bien que le niveau affiché soit celui de la classe de Première Spécialité, les notions abordées constituent le socle indispensable pour aborder le produit scalaire et la géométrie repérée. L'exercice évalue la capacité à démontrer la nature d'un triangle, à utiliser les rapports trigonométriques et à manipuler les propriétés des triangles semblables et des agrandissements.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs points clés doivent être maîtrisés :

• La réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour prouver qu'un triangle est rectangle. Attention à bien isoler le plus long côté.
• Trigonométrie (SOH CAH TOA) : Choix du bon rapport (ici, le cosinus ou la tangente sont judicieux) et utilisation de la calculatrice en mode Degré.
• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles de même mesure.
• Coefficient d'agrandissement : Il se calcule par le rapport entre deux longueurs homologues (côté image / côté original).

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Nature du triangle EFG :
Le plus long côté est EG = 30 cm. On calcule séparément :
EG² = 30² = 900.
EF² + FG² = 18² + 24² = 324 + 576 = 900.
Puisque EG² = EF² + FG², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.

2. Calcul de l'angle EGF :
Dans le triangle EFG rectangle en F, on a tan(EGF) = EF / FG = 18 / 24 = 0,75.
À l'aide de la calculatrice (Arctan), on trouve : EGF ≈ 37° (arrondi au degré près).

3. Triangles semblables :
Les triangles EGF et LGH possèdent :
1. Un angle droit chacun : l'angle EFG (démontré au 1) et l'angle LHG (donné par l'énoncé car LH est perpendiculaire à FH).
2. Une paire d'angles égaux : EGF = LGH (donné par l'énoncé).
Deux triangles ayant deux paires d'angles égaux sont semblables.

4. Coefficient d'agrandissement :
Le côté [GH] du triangle LGH correspond au côté [FG] du triangle EFG (côtés adjacents aux angles égaux donnés).
k = GH / FG = 38,4 / 24 = 1,6. Le coefficient est donc 1,6.

5. Périmètre du triangle LGH :
Le périmètre du triangle EFG est P = 18 + 24 + 30 = 72 cm.
Puisque les longueurs sont multipliées par k = 1,6 pour passer de EFG à LGH, le périmètre est également multiplié par ce coefficient.
Périmètre(LGH) = 72 × 1,6 = 115,2 cm.