Analyse de l'énoncé
Cet exercice propose une application concrète de la trigonométrie et de la géométrie du triangle rectangle. Bien que les données soient présentées de manières différentes (pourcentage, longueurs, angle), l'objectif est unique : ramener chaque situation à la définition mathématique de la pente. La pente est définie par le quotient du dénivelé (côté opposé) par le déplacement horizontal (côté adjacent). En trigonométrie, ce rapport correspond exactement à la tangente de l'angle d'inclinaison de la route.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs outils du programme de Première Spécialité sont nécessaires :
- La définition de la tangente : $\tan(\alpha) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$.
- Le théorème de Pythagore : Utilisé ici pour retrouver le déplacement horizontal lorsque seule la longueur de la route (hypoténuse) et le dénivelé sont connus.
- Conversion des unités : Il est crucial de travailler avec les mêmes unités (mètres et kilomètres) avant d'effectuer les calculs.
Correction détaillée et Guide de résolution
Pour classer ces pentes, nous devons exprimer chaque situation sous forme de pourcentage (ou de nombre décimal comparable).
1. Château des Adhémar
La pente est donnée explicitement sur le panneau de signalisation : 24 %, soit un coefficient de 0,24.
2. Col du Grand Colombier
On nous donne le dénivelé ($280$ m) et la longueur de la route ($1,5$ km $= 1500$ m). Attention, la route correspond à l'hypoténuse du triangle rectangle. Pour calculer la pente, il nous faut le déplacement horizontal ($x$).
D'après le théorème de Pythagore : $x^2 + 280^2 = 1500^2$.
$x^2 = 1500^2 - 280^2 = 2\,250\,000 - 78\,400 = 2\,171\,600$.
$x = \sqrt{2\,171\,600} \approx 1473,6$ m.
La pente est donc : $\frac{280}{1473,6} \approx 0,190$, soit environ 19 %.
3. Alto de l'Angliru
Ici, nous connaissons le déplacement horizontal ($146$ m) et l'angle d'inclinaison ($12,4^\circ$). La pente est égale à la tangente de cet angle.
Pente $= \tan(12,4^\circ) \approx 0,2198$.
En pourcentage, cela donne environ 22 %.
Conclusion et Classement
En comparant les résultats obtenus : 24 % (Adhémar) > 22 % (Angliru) > 19 % (Grand Colombier). L'ordre décroissant est donc : Château des Adhémar, Alto de l'Angliru, puis Col du Grand Colombier.