Analyse de l'énoncé : Modélisation et Mathématiques Citoyennes
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2017, constitue un excellent entraînement pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs bases en trigonométrie et en géométrie plane. Il demande une capacité à extraire des données d'un tableau complexe et à modéliser une situation réelle (l'inclinaison d'un toit) par des outils mathématiques fondamentaux.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :
- Lecture de données : Identifier le bon tarif dans un tableau à double entrée en fonction de plusieurs critères (puissance, date, type).
- Calcul de longueurs : Utilisation de la différence de hauteurs pour trouver les côtés d'un triangle rectangle.
- Trigonométrie : Maîtriser la tangente pour calculer un angle et le théorème de Pythagore pour une longueur.
- Gestion des unités : Savoir convertir des centimes d'euros en euros et manipuler des pourcentages de surface.
Correction Détaillée et Guide de Résolution
1. Calcul du prix d'achat : En mai 2015 (période du 01/04/15 au 30/06/15) pour une installation de Type B de 28 kW (tranche 0 à 36 kW), le tarif est de 13,95 centimes d'euro par kWh. Le calcul est donc : 31 420 kWh × 13,95 = 438 309 centimes d'euro, soit environ 4 383 euros. La vérification est confirmée.
2. Calcul de l'angle d'inclinaison : Dans le triangle ABC rectangle en C :
- AC = Hauteur totale - Hauteur au point B = 7 m - 4,8 m = 2,2 m.
- BC = 4,5 m.
On utilise la tangente : tan(∠ABC) = AC / BC = 2,2 / 4,5 ≈ 0,488. À l'aide de la calculatrice (arctan), on obtient un angle d'environ 26°.
3. Analyse de la surface du pan sud :
a. Longueur AB : Selon Pythagore, AB² = AC² + BC² = 2,2² + 4,5² = 4,84 + 20,25 = 25,09. Donc AB = √25,09 ≈ 5,01 m. On peut arrondir à 5 m.
b. Surface totale : Le pan est un rectangle de dimensions AB × Longueur maison = 5,01 m × 7,5 m = 37,575 m². Les 20 panneaux de 1 m² occupent 20 m². Le pourcentage est : (20 / 37,575) × 100 ≈ 53%.
c. Faisabilité : Avec une bordure de 0,3 m tout autour, l'espace disponible est de (7,5 - 0,6) = 6,9 m en longueur et (5,01 - 0,6) = 4,41 m en largeur. Le propriétaire peut installer les 20 panneaux en formant par exemple un rectangle de 5 panneaux sur 4 (5 m sur 4 m), ce qui entre parfaitement dans les dimensions utiles.