Analyse de l'énoncé : Modélisation géométrique
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs acquis en géométrie plane et trigonométrie. La situation met en scène un problème de balistique simplifié où l'on cherche l'angle d'inclinaison d'un pistolet pour atteindre une cible précise (le chapeau d'Averell Dalton). La clé de la résolution réside dans la capacité de l'élève à extraire un triangle rectangle pertinent d'un schéma complexe et à identifier les grandeurs connues.
Points de vigilance : Notions de cours requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisables :
- L'identification des côtés : Savoir distinguer le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse dans un triangle rectangle donné.
- Le choix de la formule : Dans le triangle $PAC$, nous connaissons la distance horizontale (côté adjacent) et nous pouvons déduire la distance verticale (côté opposé). La tangente est donc l'outil privilégié : $\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.
- La soustraction des hauteurs : Ne pas oublier de soustraire la hauteur de la main de Lucky Luke ($1$ m) de la taille d'Averell ($2,13$ m) pour obtenir la longueur du segment $[AC]$.
- L'arrondi final : La consigne demande un arrondi au degré près, une étape cruciale pour obtenir les points en examen.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Calcul de la longueur AC :
Le point C représente le sommet du chapeau et le point A est à la même hauteur que le pistolet P. La hauteur totale d'Averell est de $2,13$ m. Le pistolet est à une hauteur $PS = 1$ m. Par conséquent, la distance verticale entre le pistolet et le chapeau est :
$AC = \text{Taille d'Averell} - PS = 2,13 - 1 = 1,13$ m.
2. Utilisation de la trigonométrie dans le triangle PAC :
Le triangle $PAC$ est rectangle en $A$. Nous connaissons :
- $PA = 6$ m (côté adjacent à l'angle $\widehat{APC}$)
- $AC = 1,13$ m (côté opposé à l'angle $\widehat{APC}$)
On utilise la définition de la tangente :
$\tan(\widehat{APC}) = \frac{AC}{PA}$
$\tan(\widehat{APC}) = \frac{1,13}{6} \approx 0,1883$
3. Détermination de l'angle :
À l'aide de la calculatrice, en utilisant la fonction $\arctan$ ou $\tan^{-1}$ :
$\widehat{APC} = \arctan\left(\frac{1,13}{6}\right) \approx 10,66^{\circ}$.
En arrondissant au degré près comme demandé, on obtient : 11°.
Conclusion et ouverture vers la Première
En classe de Première, ce type d'exercice peut être enrichi par l'utilisation du produit scalaire pour calculer des angles dans des repères orthonormés ou par l'étude de la trajectoire parabolique (fonction polynôme du second degré) si l'on considérait l'effet de la gravité sur la balle, au-delà de l'approximation linéaire proposée ici.