Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent support de révision pour le cycle terminal en Première Spécialité Mathématiques. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et en trigonométrie dans un contexte de modélisation réelle : l'accessibilité des Personnes à Mobilité Réduite (PMR). L'objectif est de vérifier si une rampe d'accès respecte les normes de sécurité en calculant à la fois son inclinaison (angle) et sa longueur horizontale.

Points de vigilance et notions requises

Pour résoudre cet exercice avec la rigueur attendue au lycée, plusieurs notions doivent être maîtrisées :

• Trigonométrie dans le triangle rectangle : Utilisation du sinus, cosinus ou de la tangente pour déterminer une mesure d'angle à partir de deux côtés connus.
• Théorème de Pythagore : Nécessaire pour calculer la longueur horizontale $DS$ et ainsi choisir le bon critère de la norme.
• Conversion d'unités : Passer des centimètres aux mètres pour comparer les résultats aux seuils de la norme (0,5 m et 2 m).
• Raisonnement par étapes : On ne peut pas conclure sur l'angle sans avoir préalablement vérifié la catégorie de longueur horizontale dans laquelle se situe la rampe.

Correction détaillée et guide de résolution

L'exercice se décompose en trois phases de calcul.

1. Calcul de l'angle d'inclinaison

Dans le triangle $TDS$ rectangle en $S$, nous connaissons l'hypoténuse $DT = 50,2$ cm et le côté opposé à l'angle $\widehat{TDS}$, soit $TS = 6$ cm. Nous utilisons la fonction sinus :

$\sin(\widehat{TDS}) = \frac{TS}{DT} = \frac{6}{50,2} \approx 0,1195$

À l'aide de la calculatrice (touche $arcsin$ ou $sin^{-1}$), on obtient :
$\widehat{TDS} \approx 6,86^\circ$.

2. Calcul de la longueur horizontale $DS$

Pour savoir quelle norme appliquer (3°, 5° ou 7°), il faut connaître la longueur horizontale $DS$. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $TDS$ :

$DS^2 + TS^2 = DT^2$
$DS^2 + 6^2 = 50,2^2$
$DS^2 = 2520,04 - 36 = 2484,04$
$DS = \sqrt{2484,04} \approx 49,84$ cm.

3. Analyse de la conformité

Convertissons la longueur $DS$ en mètres : $DS \approx 0,4984$ m.
Le document 2 stipule que :

• Si la longueur est inférieure à 0,5 m, l'angle peut aller jusqu'à 7°.

Dans notre cas, $DS < 0,5$ m car $0,4984 < 0,5$. La limite autorisée est donc de 7°. Comme l'angle calculé est de $6,86^\circ$, et que $6,86 < 7$, la rampe est conforme à la norme.