Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, pose les bases fondamentales de la géométrie repérée et de la trigonométrie étudiées en Première Spécialité. Il traite de la notion de pente, concept qui sera plus tard modélisé par le coefficient directeur de la tangente en analyse (dérivation). L'énoncé demande de traduire une situation physique (un panneau routier) en un modèle géométrique (triangle rectangle) pour effectuer des calculs d'angles et des comparaisons de rapports numériques.

Points de vigilance et notions requises

• La définition de la pente : Une pente de $p\%$ signifie que pour 100 unités horizontales, on s'élève ou descend de $p$ unités verticales. Mathématiquement, la pente correspond à la tangente de l'angle d'inclinaison : $\tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.
• Mode de la calculatrice : Lors du calcul de l'angle à partir de sa tangente (fonction $\arctan$ ou $\tan^{-1}$), assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en Degrés.
• Comparaison de fractions : Pour comparer deux pentes, il est souvent plus simple de les convertir en écriture décimale.

Guide de résolution et correction détaillée

Question 1 : Calcul de l'angle $\widehat{BCA}$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, le côté opposé à l'angle $\widehat{BCA}$ est $AB = 10$ m et le côté adjacent est $BC = 100$ m. Nous utilisons la formule de la tangente :

$\tan(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC} = \frac{10}{100} = 0,1$

Pour trouver la mesure de l'angle, on utilise la fonction arc-tangente :
$\widehat{BCA} = \arctan(0,1) \approx 5,71°$.
L'énoncé demande d'arrondir au degré près, donc l'angle $\widehat{BCA}$ est d'environ 6°.

Question 2 : Comparaison de deux pentes

Pour déterminer quel panneau indique la pente la plus forte, comparons leurs coefficients de pente :

• Panneau A (15 %) : Le coefficient est de $15/100 = 0,15$.
• Panneau B (1 : 5) : L'indication signifie que pour 5 m horizontaux, on monte de 1 m. Le coefficient est donc $1/5$. En écriture décimale, $1/5 = 0,20$.

Comme $0,20 > 0,15$, c'est le Panneau B (1 : 5) qui indique la pente la plus forte.

Lien avec le programme de Première Spécialité

En Première, cette notion de pente est centrale dans l'étude des fonctions. Le rapport $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ (dénivelé sur déplacement horizontal) est précisément le taux de variation d'une fonction affine. Cet exercice prépare également à la compréhension du cercle trigonométrique et à l'usage des vecteurs directeurs dans le plan repéré.