Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité Mathématiques, notamment pour les chapitres sur les suites arithmétiques et l'étude des fonctions (second degré). L'énoncé nous place dans une situation concrète d'éco-conduite, où deux modèles cohabitent : une évolution linéaire pour la pression des pneus et une évolution non-linéaire (zone grisée définie par des fonctions polynômes du second degré dans le code source) pour la consommation supplémentaire.

Points de vigilance et notions de cours

• Suites Arithmétiques : La perte constante de $0,1$ bar par mois définit une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 2,4$ et de raison $r = -0,1$. La formule à maîtriser est $u_n = u_0 + n \times r$.
• Interprétation Graphique : La lecture de l'encadrement demande de la précision. Il faut faire attention à l'échelle de l'axe des abscisses où le zéro correspond à la pression recommandée ($2,4$ bars).
• Calculs de Pourcentages : Le passage d'une baisse de $15\%$ à un coefficient multiplicateur de $0,85$ ($1 - \frac{15}{100}$) est essentiel pour calculer la nouvelle consommation moyenne.
• Modélisation financière : Le calcul d'amortissement nécessite une vision globale : économie annuelle vs coût de l'investissement initial.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Étude de la pression :
a) On cherche $n$ tel que $2,4 - 0,1n = 1,9$. La différence de pression est de $0,5$ bar. Puisque le pneu perd $0,1$ bar par mois, il faudra $0,5 / 0,1 = 5$ mois pour atteindre cette pression.
b) Sur le graphique, une pression de $1,9$ bar correspond à un écart de $0,5$ bar par rapport à la normale. En observant l'abscisse correspondant à cet écart (5ème graduation), la zone grisée se situe environ entre $2\%$ et $4\%$ de consommation supplémentaire.

2. Analyse économique de l'éco-conduite :
a) Consommation initiale : $6$ L/100km. Réduction de $15\%$ : $6 \times (1 - 0,15) = 6 \times 0,85 = 5,1$ L/100km.
b) Paul parcourt $20\,000$ km, soit $200$ fois $100$ km.
Consommation sans éco-conduite : $6 \times 200 = 1\,200$ L.
Consommation avec éco-conduite : $5,1 \times 200 = 1\,020$ L.
Économie de carburant : $1\,200 - 1\,020 = 180$ Litres.
c) Économie financière : $180 \times 1,35 = 243$ €.
d) Le stage coûte $200$ €. L'économie réalisée dès la première année ($243$ €) étant supérieure au coût du stage, Paul amortira sa dépense en moins d'un an.