Analyse de l'énoncé
Cet exercice propose une étude comparative de deux modèles de facturation, un sujet classique qui mobilise les compétences de modélisation du programme de Première Spécialité. Le Tarif A représente une fonction constante, tandis que le Tarif B suit une évolution linéaire, modélisable par une suite arithmétique ou une fonction affine.
Points de vigilance (Notions de cours)
- Logiciels de calcul (Tableur) : Il est impératif de se souvenir que toute formule commence par le signe égal (=) et utilise des références de cellules (comme A4) pour permettre l'automatisation des calculs par recopie vers le bas.
- Modélisation par les suites : Le Tarif B peut être défini par la suite $(u_n)$ où $u_n = 5000 + 7900n$, avec $n$ le nombre de mois. C'est une suite arithmétique de raison $r=7900$.
- Résolution d'inéquations : Pour comparer deux tarifs, on cherche le rang $n$ à partir duquel $Tarif A < Tarif B$.
Correction Détaillée
1. Choix de la formule tableur :
La cellule C4 doit calculer le montant pour 3 mois (valeur située en A4). Le calcul est : Frais fixes + (Nombre de mois × Prix mensuel), soit $5000 + A4 \times 7900$. La seule proposition valide respectant la syntaxe d'un tableur est : =5000+A4*7900.
2. Détermination du seuil de rentabilité :
En observant le tableau de valeurs fourni :
Pour 10 mois, le Tarif B s'élève à 84 000 F, ce qui est inférieur au forfait A (90 000 F).
Pour 11 mois, le Tarif B s'élève à 91 900 F, ce qui dépasse le forfait A.
Conclusion : Le Tarif A devient plus intéressant que le Tarif B à partir de 11 mois d'abonnement.
3. Analyse graphique :
Le tarif B dépend du nombre de mois, c'est une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$ avec un coefficient directeur positif (7900). Sa représentation est une droite montante. C'est donc la droite $g$ qui représente le Tarif B. La droite $h$, horizontale, représente le coût fixe du Tarif A ($y = 90000$).
Ouverture vers la Spécialité
En classe de Première, cet exercice sert de base pour introduire la comparaison de suites (arithmétiques vs géométriques). Ici, nous sommes face à une croissance linéaire. L'intersection des deux droites sur le graphique correspond graphiquement à la solution de l'équation $7900x + 5000 = 90000$, soit environ 10,76 mois, confirmant que le basculement se fait au 11ème mois.