Analyse de l'énoncé et contexte mathématique
Cet exercice, issu du sujet DNB 2018 pour l'Amérique du Sud, constitue un excellent support pour réviser les fondements des statistiques descriptives, une compétence indispensable avant d'aborder les variables aléatoires en classe de Première Spécialité. L'objectif est de comparer deux séries statistiques (les temps des finales olympiques de 2012 et 2016) à l'aide d'indicateurs de position (moyenne, médiane) et de dispersion (étendue).
Points de vigilance et notions de cours
- La Moyenne : C'est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Elle est sensible aux valeurs extrêmes.
- La Médiane : C'est la valeur centrale qui partage la série en deux groupes de même effectif. Ici, avec 8 athlètes, la médiane se situe entre la 4ème et la 5ème valeur.
- L'Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Elle permet de retrouver une valeur manquante si l'autre extrême est connu.
Guide de résolution détaillé
1. Temps du vainqueur en 2016 : Le vainqueur est celui qui réalise le temps le plus court. En observant la liste : 10,04 ; 9,96 ; 9,81 ; 9,91 ; 10,06 ; 9,89 ; 9,93 ; 9,94, on identifie immédiatement 9,81 s.
2. Comparaison des moyennes : Pour 2012, la moyenne est donnée : 10,01 s. Pour 2016, calculons : $M = \frac{10,04 + 9,96 + 9,81 + 9,91 + 10,06 + 9,89 + 9,93 + 9,94}{8} = \frac{79,54}{8} = 9,9425$ s. La moyenne de 2016 est donc plus petite.
3. Meilleur temps absolu : En 2016, il est de 9,81 s. En 2012, on sait que le max est 11,99 s et l'étendue 2,36 s. Le minimum est donc $11,99 - 2,36 = 9,63$ s. C'est en 2012 que le meilleur temps a été réalisé.
4. Analyse de l'affirmation : La médiane en 2012 est de 9,84 s. Puisqu'il y a 8 athlètes, au moins 4 athlètes ont réalisé un temps inférieur ou égal à 9,84 s. Comme 9,84 < 10, au moins 4 athlètes sont sous la barre des 10 s. L'affirmation est fausse.
5. Déduction du nombre d'athlètes sous les 10s : En 2016, 6 athlètes sont sous les 10 s. L'énoncé indique qu'il y en a plus en 2012. Comme le temps le plus long est 11,99 s (un seul athlète au-dessus de 10 s de façon certaine), le nombre d'athlètes sous les 10 s en 2012 est nécessairement 7.