Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de type DNB, constitue un excellent rappel de fondamentaux pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. La maîtrise des indicateurs de position est un prérequis indispensable avant d'aborder la loi de probabilité d'une variable aléatoire, où la moyenne devient l'espérance mathématique.

Ici, nous travaillons sur une série statistique quantitative discrète représentant la croissance de plants de blé. L'objectif est de synthétiser l'information contenue dans un tableau d'effectifs pour en extraire des valeurs caractéristiques : la moyenne (indicateur de centralité sensible aux valeurs extrêmes) et la médiane (indicateur de position séparant la série en deux groupes d'effectifs égaux).

Points de vigilance et notions de cours

• Calcul de la moyenne pondérée : Ne pas oublier de multiplier chaque valeur (taille) par son effectif respectif avant de diviser par l'effectif total.
• Détermination de la médiane : La méthode diffère selon que l'effectif total $N$ est pair ou impair. Ici, $N=29$ est impair.
• Interprétation : La médiane ne doit pas être confondue avec la moyenne. Elle indique qu'au moins 50 % de la population se situe en dessous (ou au-dessus) de cette valeur.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de la taille moyenne

Pour calculer la moyenne $\bar{x}$, on applique la formule de la moyenne pondérée :
$\bar{x} = \frac{\sum (n_i \times x_i)}{N}$

Calcul du numérateur :
$(0 \times 1) + (10 \times 4) + (15 \times 6) + (17 \times 2) + (18 \times 3) + (19 \times 3) + (20 \times 4) + (21 \times 4) + (22 \times 2)$
$= 0 + 40 + 90 + 34 + 54 + 57 + 80 + 84 + 44 = 483$.

Calcul de l'effectif total $N$ :
$1 + 4 + 6 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 2 = 29$.

Moyenne : $\bar{x} = \frac{483}{29} \approx 16,66$ cm (arrondi au centième).

2. Détermination et interprétation de la médiane

L'effectif total $N = 29$ est impair. La médiane est la $\frac{N+1}{2}$-ième valeur, soit la $15$-ième valeur de la série ordonnée.

Utilisons les effectifs cumulés croissants (ECC) pour la localiser :
0 cm : 1
10 cm : $1+4 = 5$
15 cm : $5+6 = 11$
17 cm : $11+2 = 13$
18 cm : $13+3 = 16$.
La $15$-ième valeur se trouve dans la catégorie '18 cm'. La médiane est donc de 18 cm.

Interprétation : Cela signifie qu'au moins 50 % des plants de blé (soit au moins 15 plants sur les 29) ont une taille inférieure ou égale à 18 cm, et au moins 50 % ont une taille supérieure ou égale à 18 cm.