Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de cycle 4, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité. Il mobilise des compétences clés : la modélisation algébrique d'un processus algorithmique et la résolution d'équations du second degré. L'objectif est de traduire un programme de calcul en une fonction polynomiale de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, puis d'utiliser une forme factorisée pour identifier les racines (les valeurs d'annulation).

Points de vigilance et notions de cours

• Traduction algébrique : Attention à l'ordre des opérations. Multiplier le carré par 2 s'écrit $2x^2$ et non $(2x)^2$.
• Algorithmie : Comprendre le fonctionnement des variables et des boucles. Dans le script Scratch, on itère de 0 à 10 par pas de 0,5 (20 répétitions).
• Équation produit nul : Savoir que $A \times B = 0$ si et seulement si $A=0$ ou $B=0$.

Guide de résolution détaillé

1. Calculs numériques

Pour $x=4$ : $4^2 = 16$, puis $16 \times 2 = 32$. On ajoute 4 : $32 + 4 = 36$. Enfin, $36 - 66 = -30$.
Pour $x=-3$ : $(-3)^2 = 9$, puis $9 \times 2 = 18$. On ajoute $-3$ : $18 - 3 = 15$. Enfin, $15 - 66 = -51$.

2. Analyse de l'algorithme

Dans le bloc Scratch :
- L'emplacement A doit contenir 'Nombre choisi' pour calculer le carré (nombre choisi * nombre choisi).
- L'emplacement B doit contenir '2' pour multiplier le résultat par 2.
La réponse du lutin (5,5) signifie que pour $x = 5,5$, le résultat du programme est 0. C'est l'une des racines de la fonction.

3. Modélisation et Résolution

L'expression algébrique est $f(x) = 2x^2 + x - 66$.
Pour résoudre $f(x) = 0$, on utilise la forme factorisée $(2x - 11)(x + 6) = 0$.
Soit $2x - 11 = 0 \Rightarrow x = 5,5$.
Soit $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.
Les deux valeurs de départ qui donnent 0 sont 5,5 et -6. On remarque que seule la valeur 5,5 a été trouvée par le script, car la boucle commençait à 0 et n'explorait pas les nombres négatifs.