Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu de la session 2023, propose une approche concrète de l'algèbre via deux programmes de calcul. Bien que posé initialement au brevet, il constitue un excellent rappel pour les élèves de Première Spécialité sur la transition entre algorithme textuel et expression polynomiale. Le cœur de l'exercice réside dans la modélisation de fonctions (linéaire pour Amir et du second degré pour Sonia) et la recherche de leurs points d'intersection.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences de la spécialité mathématiques sont mobilisées :

• Modélisation algébrique : Savoir traduire des étapes de calcul en expressions littérales en respectant les priorités opératoires (usage des parenthèses).
• Tableur : Comprendre la syntaxe d'une formule (référence relative B1) pour automatiser des calculs.
• Équations produit nul : Maîtriser la règle selon laquelle un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. C'est la base de la recherche de racines pour les polynômes.
• Développement : Passer de la forme factorisée à la forme développée pour identifier un polynôme du second degré.

Correction détaillée

1. Vérification des valeurs :

• Programme d'Amir : (6 - 5) * 2 = 1 * 2 = 2.
• Programme de Sonia : (6 + 3) * 6 - 16 = 9 * 6 - 16 = 54 - 16 = 38.

2. Analyse du tableur :

• Formule en B2 : La formule correcte est =(B1-5)*2. Elle utilise la référence à la cellule B1 (le nombre de départ) et applique les étapes d'Amir.
• Lecture de données : En observant les lignes 2 et 3, on cherche les colonnes où les valeurs sont identiques. Pour x = 2, les deux programmes affichent -6.

3. Modélisation et résolution :

• Expression de Sonia : En partant de x, on ajoute 3 (x+3), on multiplie par x : x(x+3) = x² + 3x. Enfin, on soustrait 16, ce qui donne bien x² + 3x - 16.
• Résolution de l'équation (x - 2)(x + 3) = 0 : Un produit est nul si l'un des facteurs est nul. Soit x - 2 = 0 (donc x = 2), soit x + 3 = 0 (donc x = -3).
• Conclusion : Les deux programmes renvoient le même résultat pour les nombres de départ 2 et -3.

Cet exercice préfigure l'étude des fonctions de la forme f(x) = g(x) que l'on retrouve dans l'étude des positions relatives de courbes en Première Spécialité.