Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de niveau Brevet, constitue une excellente base de révision pour le début de la classe de Première Spécialité. Il permet de consolider les fondamentaux sur la modélisation algébrique d'un processus algorithmique et l'étude d'une fonction de référence : la fonction carré, ici dilatée par un coefficient 10. L'exercice est structuré en deux parties : une phase de calcul direct (image d'un nombre) et une phase de recherche d'antécédents par différentes méthodes (graphique, numérique et algébrique).

Points de vigilance et notions de cours

• Modélisation : Savoir traduire un programme de calcul par une expression littérale. La priorité des opérations est ici cruciale, notamment lors du passage de l'étape 'Ajouter 4' à 'Multiplier par 2'.
• Parité : La question sur les nombres 2 et -2 met en lumière la propriété de parité de la fonction $x \mapsto x^2$ ($(-x)^2 = x^2$), notion fondamentale en analyse.
• Résolution d'équation : La distinction entre valeur approchée (issue du graphique ou du tableur) et valeur exacte (calculée avec la racine carrée) est un attendu majeur du programme de mathématiques.

Correction détaillée

Partie A :

• Question 1 : Pour 3 comme nombre de départ : $3^2 = 9$ ; $9 \times 5 = 45$ ; $45 + 4 = 49$ ; $49 \times 2 = 98$ ; $98 - 8 = 90$. Le résultat est bien 90.
• Question 2 : Pour 2 : $10 \times 2^2 = 40$. Pour -2 : $10 \times (-2)^2 = 10 \times 4 = 40$. Comme $(-x)^2 = x^2$, les résultats sont identiques.
• Question 3 : Soit $x$ le nombre choisi : $((x^2 \times 5) + 4) \times 2 - 8 = (5x^2 + 4) \times 2 - 8 = 10x^2 + 8 - 8 = 10x^2$.

Partie B :

• Question 4 : Graphiquement, les antécédents de 30 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale $y=30$. On lit approximativement $x \approx 1,7$ et $x \approx -1,7$.
• Question 5.a : La formule saisie en B2 est =10*A2^2 ou =10*A2*A2.
• Question 5.b : Dans le tableau, le résultat le plus proche de 30 est 29,929. Le nombre de départ correspondant est 1,73.
• Question 6 : On cherche $x > 0$ tel que $10x^2 = 30$, soit $x^2 = 3$. La valeur exacte positive est $x = \sqrt{3}$.