Analyse de l'énoncé : La modélisation au service de la santé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, pose les bases fondamentales de la modélisation mathématique que l'on retrouve en classe de Première Spécialité. Il confronte deux modèles : une fonction affine (Astrand) et une fonction de second degré (Gellish). L'enjeu est de comprendre comment traduire une situation réelle (la physiologie cardiaque) en expressions algébriques exploitables via des outils numériques comme le tableur.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :

• La gestion des unités : Le passage de pulsations par seconde à des pulsations par minute (BPM) nécessite une maîtrise des rapports de proportionnalité ($1 min = 60 s$).
• L'interprétation statistique : Comprendre la relation entre le nombre total de pulsations, la fréquence moyenne et la durée ($ ext{Durée} = rac{ ext{Total}}{ ext{Moyenne}}$).
• La syntaxe tableur : En Première, la maîtrise des formules (utilisation des dollars pour les références absolues ou simple adressage relatif comme ici) est cruciale.
• Analyse de fonctions : Identifier que $g(a) = 191,5 - 0,007a^2$ est une fonction polynôme du second degré où le coefficient de $a^2$ est négatif, impliquant une décroissance de la FCMC avec l'âge.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Estimation de la FC : Si Denis compte 18 pulsations en 15 secondes, on multiplie par 4 pour atteindre 60 secondes. $18 \times 4 = 72$ pulsations/minute.

2. Intervalle entre deux pulsations : Si l'intervalle est de 0,8 s, la fréquence est de $\frac{60}{0,8} = 75$ pulsations/minute.

3. Analyse de l'entraînement :

• Étendue : C'est la différence entre le maximum et le minimum : $182 - 65 = 117$ pulsations/minute.
• Durée : On utilise la fréquence moyenne. $\text{Durée} = \frac{3640}{130} = 28$ minutes.

4. Formule d'Astrand (Fonction Affine) : Pour Denis (32 ans), $f(32) = 220 - 32 = 188$ bpm. Pour un jeune de 15 ans, $f(15) = 220 - 15 = 205$ bpm. La FCMC diminue donc avec l'âge.

5. Formule de Gellish (Second Degré) et Tableur : La formule de Gellish est $g(a) = 191,5 - 0,007 \times a^2$. Dans un tableur, si l'âge est en cellule A2, la formule à saisir en C2 est : =191,5 - 0,007 * A2^2 ou =191,5 - 0,007 * A2 * A2. On remarque que ce modèle est plus restrictif que celui d'Astrand pour Denis ($184,3$ contre $188$).