Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente introduction aux problématiques de modélisation par le second degré en Première Spécialité. L'objectif est d'optimiser l'aire d'un enclos rectangulaire sous une contrainte de périmètre (longueur de grillage fixe de 50 m). La difficulté réside dans la traduction géométrique des segments en fonction d'une variable unique $x$.
Points de vigilance et notions requises
- Modélisation : Savoir exprimer les dimensions d'un rectangle en fonction de $x$. Si $BC = x$, alors le côté $OC = OB + BC = 6 + x$.
- Contrainte du grillage : La longueur totale $L = BC + CD + DE + EF = 50$. Comme $OCDE$ est un rectangle, on a $CD = OE$ et $DE = OC$.
- Lecture de tableur : Comprendre la syntaxe d'une formule de calcul (références relatives) et identifier un extremum dans un tableau de valeurs.
- Forme canonique : Pour un élève de Première, on peut faire le lien entre le sommet de la parabole et le maximum observé dans le tableau.
Guide de résolution détaillé
1. Étude du cas particulier $x = 5$
Si $BC = 5$, alors $OC = 6 + 5 = 11$. On nous donne $FE = 15$, donc $OE = OF + FE = 4 + 15 = 19$.
a) Longueur du grillage : $BC + CD + DE + EF = 5 + 19 + 11 + 15 = 50$ m. La condition est vérifiée.
b) Aire de l'enclos : $A = OC \times OE = 11 \times 19 = 209$ m².
2. Cohérence de la fonction
La voisine propose $A(x) = -x^2 + 18x + 144$.
Pour $x = 5$ : $A(5) = -(5)^2 + 18(5) + 144 = -25 + 90 + 144 = 209$. La formule est cohérente avec la question 1.
3. Exploitation du tableur
- a. Formule en F2 : En étirant la formule, la référence à la cellule B1 devient F1. La formule est donc
=-F1*F1+18*F1+144. - b. Aire maximale : En observant la ligne 2, la valeur maximale de $A(x)$ est $225$. Elle est atteinte pour $x = 9$ (cellule F1).
- c. Dimensions : Pour $x = 9$, on a $OC = 6 + 9 = 15$ m. Pour trouver $OE$, on utilise l'aire : $OC \times OE = 225$, soit $15 \times OE = 225$, d'où $OE = 15$ m. L'enclos est alors un carré de 15 m de côté.