Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015, mobilise des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité Mathématiques, notamment la modélisation de phénomènes réels par des fonctions. L'objectif est d'étudier la distance d'arrêt d'un véhicule, décomposée en deux phases : la réaction du conducteur (modélisation linéaire) et le freinage (modélisation quadratique). L'élève doit être capable de passer d'un registre de représentation à un autre : graphique, numérique et algébrique.
Points de vigilance et notions de cours
- Modélisation fonctionnelle : La distance de réaction est proportionnelle à la vitesse (représentée par une droite passant par l'origine), tandis que la distance de freinage suit une loi d'évolution quadratique (représentée par une parabole).
- Lecture graphique : Attention à la précision des lectures sur les axes. Il faut bien identifier les unités (km/h pour la vitesse et m pour les distances).
- Calcul de la distance d'arrêt : Il est crucial de se rappeler la formule donnée : $D_a = D_r + D_f$. Les erreurs classiques consistent à oublier l'une des deux composantes.
- Proportionnalité : Une fonction est proportionnelle si et seulement si sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Ici, pour le freinage, la courbe est une parabole, infirmant la proportionnalité directe avec la vitesse (mais confirmant la proportionnalité avec le carré de la vitesse).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la distance d'arrêt pour le scooter :
La formule est $D_{arrêt} = D_{réaction} + D_{freinage}$. En remplaçant par les valeurs données : $12,5 + 10 = 22,5$ mètres. À 45 km/h, le scooter parcourt 22,5 m avant l'arrêt complet.
2. Analyse graphique :
a) Sur le premier graphique (distance de réaction), on repère 15 m sur l'axe des ordonnées. En rejoignant la droite et en descendant sur l'axe des abscisses, on lit une vitesse de 54 km/h environ (ou 55 km/h selon la précision du tracé).
b) La distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse car la représentation graphique n'est pas une droite mais une courbe (une branche de parabole). En Première, on dira que $D_f(v)$ est de la forme $a \cdot v^2$.
c) Pour 90 km/h : sur le premier graphique, $D_r \approx 25$ m. Sur le second graphique, pour 90 km/h, $D_f \approx 40$ m. La distance d'arrêt est donc $25 + 40 = 65$ mètres.
3. Utilisation de la formule sur route mouillée :
On applique $v = 110$ dans l'expression $D_f = rac{v^2}{152,4}$.
$D_f = rac{110^2}{152,4} = rac{12100}{152,4} \approx 79,39$ mètres. La distance de freinage au mètre près est donc de 79 mètres.