Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de brevet, constitue une base fondamentale pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il permet d'aborder la transition entre l'arithmétique procédurale (le programme de calcul) et l'analyse fonctionnelle (les polynômes du second degré). L'objectif est de transformer une suite d'instructions en une expression algébrique de la forme $ax^2 + bx + c$ et d'en étudier les propriétés de signe.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :

• Modélisation algébrique : Savoir poser $x$ comme variable de départ et traduire chaque étape du programme.
• Développement et réduction : Effectuer la distribution de $x$ dans l'expression $x(x-6)$.
• Identités remarquables : Reconnaître la forme $a^2 - 2ab + b^2$ pour factoriser l'expression obtenue.
• Propriété des carrés : Savoir qu'un carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul ($X^2 \geq 0$).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Vérification pour $x = 11$ :
Étape 1 : $11 - 6 = 5$.
Étape 2 : $5 \times 11 = 55$.
Étape 3 : $55 + 9 = 64$.
Le résultat est bien 64.

2. Application pour $x = -4$ :
Étape 1 : $-4 - 6 = -10$.
Étape 2 : $-10 \times (-4) = 40$.
Étape 3 : $40 + 9 = 49$.
Le résultat est 49.

3. Analyse algébrique et conclusion de Théo

Appelons $x$ le nombre choisi au départ. Traduisons le programme en fonction de $x$ :
1. Soustraire 6 : $x - 6$.
2. Multiplier par le nombre de départ : $x(x - 6)$.
3. Ajouter 9 : $x(x - 6) + 9$.

En développant cette expression, on obtient : $f(x) = x^2 - 6x + 9$.
Un élève de Première reconnaîtra immédiatement une identité remarquable de la forme $a^2 - 2ab + b^2$ où $a = x$ et $b = 3$.
On a donc : $f(x) = (x - 3)^2$.

Puisque le carré de n'importe quel nombre réel est toujours positif ou nul ($\forall x \in \mathbb{R}, (x-3)^2 \geq 0$), le résultat du programme sera effectivement toujours positif. Théo a donc raison.