Analyse de l'énoncé
Cet exercice se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Bien que ce sujet soit issu d'une session de 2019, il constitue un excellent entraînement pour les élèves de Première Spécialité car il mobilise des automatismes fondamentaux : l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers), la géométrie de configuration (Théorème de Thalès) et le calcul littéral (développement et réduction de polynômes de degré 2). En Première, la maîtrise de ces bases est cruciale pour aborder sereinement l'étude des fonctions et la dérivation.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs notions doivent être parfaitement acquises :
- Arithmétique : Savoir que tout entier peut se décomposer en un produit unique de puissances de nombres premiers.
- Configuration de Thalès : Identifier la situation de 'papillon' ou de triangles emboîtés. Le point A est ici le centre de l'homothétie liant les deux triangles.
- Calcul littéral : La distributivité simple est une source fréquente d'erreurs de signes. Il faut être particulièrement attentif lors de la réduction des termes en x.
Correction détaillée et guide de résolution
Question 1 : Décomposition de 1600
On peut procéder par étapes : 1600 = 16 x 100. Or, 16 = 2^4 et 100 = 10^2 = (2 x 5)^2 = 2^2 x 5^2. En regroupant les puissances de 2, on obtient : 2^(4+2) x 5^2 = 2^6 x 5^2. La réponse exacte est donc la C.
Question 2 : Longueur MN (Théorème de Thalès)
Les droites (EF) et (MN) sont parallèles, et les droites (EM) et (FN) sont sécantes en A. D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports suivants : EA/AM = FA/AN = EF/MN. En utilisant les valeurs connues : 2 / 5 = 4 / MN. Par un produit en croix, on trouve : 2 x MN = 5 x 4, soit 2 x MN = 20, d'où MN = 10 cm. La réponse exacte est la B.
Question 3 : Développement de l'expression
L'expression à traiter est 6x(3x - 5) + 7x. On applique la distributivité :
6x * 3x = 18x²
6x * (-5) = -30x
En ajoutant le terme restant : 18x² - 30x + 7x. On réduit les termes semblables : -30x + 7x = -23x. L'expression finale est 18x² - 23x. La réponse exacte est la A.