Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balaye plusieurs compétences fondamentales du cycle terminal. Bien que les thèmes abordés (Thalès, fractions, systèmes) soient vus dès le collège, ils constituent le socle de manipulation algébrique nécessaire en Première Spécialité. L'exercice sollicite la capacité à modéliser une situation géométrique par un polynôme, à résoudre un système d'équations linéaires et à identifier une croissance exponentielle (suite géométrique).

Points de vigilance et notions de cours

• Modélisation algébrique : Savoir exprimer une aire en fonction d'une variable x et reconnaître une forme développée de degré 2.
• Systèmes d'équations : Utiliser la méthode de substitution ou de combinaison pour résoudre un problème à deux inconnues.
• Suites : Reconnaître une progression où chaque terme est le double du précédent (raison q = 2).
• Priorités opératoires : Respecter la priorité de la multiplication sur l'addition dans les calculs fractionnaires.
• Théorème de Thalès : Identifier correctement les rapports de proportionnalité dans des triangles semblables ou des configurations de droites parallèles.

Correction détaillée

Question 1 : Le rectangle ABCD a pour largeur $x$ et pour longueur $x + 2$ (car la longueur est composée de deux segments marqués par des codages identiques à $x$ et d'un segment central de 2). L'aire est donc $x \times (x + 2) = x^2 + 2x$.

Question 2 : Soit $x$ le prix d'un cahier et $y$ celui d'un crayon. On a le système :
1) $2x + 3y = 810$
2) $x + 5y = 650$
En isolant $x$ dans la (2), on a $x = 650 - 5y$. Injectons dans (1) : $2(650 - 5y) + 3y = 810 \Rightarrow 1300 - 10y + 3y = 810 \Rightarrow -7y = -490 \Rightarrow y = 70$. On trouve ensuite $x = 300$. Réponse : un cahier coûte 300 F et un crayon 70 F.

Question 3 : Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $u_1 = 2$ et de raison $q = 2$. Le chemin comporte 8 cases. Le nombre de cailloux sur la 8ème case est $u_8 = u_1 \times q^{(8-1)} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256$.

Question 4 : $\frac{5}{14} + \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{14} + \frac{15}{14} = \frac{20}{14}$.

Question 5 : Dans le triangle ABC, avec (ML) // (BC), d'après le théorème de Thalès : $AL/AC = ML/BC$. On a $AL = 3$ et $AC = 3 + 4,5 = 7,5$. Donc $3 / 7,5 = ML / 3$, d'où $ML = (3 \times 3) / 7,5 = 9 / 7,5 = 1,2$ mètre.