Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Nord 2013, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Bien que les concepts abordés relèvent initialement de la fin du cycle 4, ils constituent le socle de compétences indispensables pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. En effet, la maîtrise des arbres de probabilités, la modélisation de problèmes du premier degré et la compréhension des rapports de proportionnalité sont des prérequis pour aborder sereinement les chapitres sur les probabilités conditionnelles et les suites numériques.
Points de vigilance et notions de cours requises
- Probabilités : La règle fondamentale d'un arbre de probabilité stipule que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1. C'est cette propriété qui permet de déterminer une valeur manquante par simple soustraction.
- Modélisation arithmétique : Savoir traduire un énoncé concret (pieds de tables) en une suite d'opérations logiques ou en une équation de type ax + by = c.
- Pourcentages et Proportions : Savoir manipuler les relations entre une partie (le visible) et le tout (l'iceberg). Si x% est caché, alors (100-x)% est visible.
- Géométrie plane : Le périmètre est une longueur linéaire. Il faut être capable de décomposer une figure complexe en segments et arcs de cercles élémentaires sans se laisser tromper par l'aire de la figure.
Correction Détaillée et Guide de Résolution
1. Probabilités (Calcul de la branche manquante) :
Le nœud principal donne naissance à trois branches. On sait que la somme de leurs probabilités doit être égale à 1. Soit p la probabilité sous la tache.
On a l'équation : 1/9 + p + 1/3 = 1.
Pour résoudre, mettons tout au dénominateur 9 : 1/9 + p + 3/9 = 9/9.
p + 4/9 = 9/9, donc p = 9/9 - 4/9 = 5/9.
Réponse exacte : c.
2. Problème des tables (Logique et calcul) :
Léa compte 169 pieds au total. Son frère lui donne une information clé : il y a 34 tables à 4 pieds. Calculons le nombre de pieds utilisés par ces tables : 34 × 4 = 136 pieds.
Le nombre de pieds restant pour les tables à 3 pieds est : 169 - 136 = 33 pieds.
Enfin, le nombre de tables à 3 pieds est : 33 / 3 = 11 tables.
Réponse exacte : b.
3. Proportionnalité (L'iceberg) :
Si 90 % du volume est sous l'eau, alors la partie visible représente 10 % du volume total (100 % - 90 % = 10 %).
On nous dit que cette partie visible (les 10 %) mesure 35 m de haut.
Pour trouver la hauteur totale (100 %), on utilise un tableau de proportionnalité ou on multiplie par 10 : 35 × 10 = 350 m.
Réponse exacte : a.
4. Géométrie (Périmètres) :
La figure initiale est composée de deux segments verticaux, quatre segments horizontaux courts et deux demi-cercles rentrants (concaves). Pour qu'une autre figure ait le même périmètre, elle doit comporter des segments de longueurs identiques. La figure b possède les mêmes arcs de cercle (cette fois-ci bombés ou convexes) et les mêmes segments de droite. Le périmètre restant inchangé car les longueurs des lignes de contour sont les mêmes.
Réponse exacte : b.