Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de Brevet des Collèges, permet de consolider des compétences fondamentales pour la Première Spécialité Mathématiques, notamment la manipulation des proportions et l'arithmétique élémentaire. Le contexte porte sur une étude clinique (vaccination de souris) où il faut traduire des données textuelles en modèles mathématiques simples (fractions et décompositions).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit être capable de :

• Dénombrer une population totale à partir de groupes distincts.
• Traduire une fréquence ou une probabilité sous forme de fraction.
• Utiliser la liste des nombres premiers pour prouver l'irréductibilité d'une fraction.
• Maîtriser les critères de divisibilité habituels (par 2, 3, 5).

En Spécialité, ces automatismes sont cruciaux pour aborder sereinement les chapitres sur les variables aléatoires ou les probabilités conditionnelles.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Analyse du Laboratoire A

Calculons d'abord le nombre total de souris : il y a 5 groupes de 29 souris, soit $5 \times 29 = 145$ souris au total.

Calculons ensuite le nombre de souris malades. Sur les 5 groupes :

• 3 groupes sont vaccinés et comptent 0 malade.
• 2 groupes ne sont pas vaccinés ($5 - 3 = 2$).
• Dans chacun de ces 2 groupes, 23 souris sont malades, soit $2 \times 23 = 46$ souris malades.

La proportion de souris malades est donc bien $\frac{46}{145}$.

2. Justification de l'irréductibilité

Pour justifier que $\frac{46}{145}$ est irréductible sans calculatrice, on décompose les nombres en facteurs premiers :

• $46 = 2 \times 23$
• $145 = 5 \times 29$ (car il se termine par 5 et $145 = 5 \times 20 + 5 \times 9$)

Les décompositions n'ayant aucun facteur premier commun, la fraction est irréductible.

3. Analyse du Laboratoire B

Décomposons 140 et 870 :

• $140 = 14 \times 10 = (2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5 \times 7$.
• $870 = 87 \times 10 = (3 \times 29) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5 \times 29$.

Pour la forme irréductible, nous simplifions par les facteurs communs ($2 \times 5 = 10$) :

$\frac{140}{870} = \frac{2 \times 7 \times 10}{3 \times 29 \times 10} = \frac{14}{87}$.