Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2017, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité souhaitant consolider ses fondamentaux en probabilités discrètes. L'énoncé repose sur une situation d'équiprobabilité classique : un tirage aléatoire dans une urne (ou un sac) contenant 20 boules numérotées de 1 à 20. La principale difficulté ne réside pas dans la complexité du calcul, mais dans la précision de la lecture des consignes (fractions irréductibles) et la maîtrise du vocabulaire arithmétique (multiples, diviseurs, nombres premiers).
Points de vigilance et notions clés
- L'équiprobabilité : Puisque chaque boule a la même chance d'être tirée, on utilise la formule fondamentale : P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre total de cas possibles).
- L'arithmétique : Il est crucial de ne pas confondre 'multiple' et 'diviseur'. De même, la définition d'un nombre premier doit être parfaitement connue (un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même). Rappel important : 1 n'est pas un nombre premier.
- La simplification de fractions : Le sujet exige des fractions irréductibles. Un oubli sur ce point peut coûter des points précieux lors d'une évaluation.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Probabilité de tirer la boule numérotée 13 :
Il y a une seule boule portant le numéro 13 parmi les 20 boules. La probabilité est donc de 1/20. Cette fraction est déjà irréductible.
2. Probabilité de tirer un numéro pair :
L'ensemble des numéros pairs entre 1 et 20 est {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, soit 10 cas favorables. La probabilité est P = 10/20. En simplifiant par 10, on obtient 1/2.
3. Comparaison multiples de 4 et diviseurs de 4 :
Calculons les deux probabilités séparément :
- Multiples de 4 : {4, 8, 12, 16, 20}, soit 5 cas. P(M) = 5/20 = 1/4.
- Diviseurs de 4 : {1, 2, 4}, soit 3 cas. P(D) = 3/20.
Comme 5/20 > 3/20, on a effectivement plus de chances d'obtenir un multiple de 4 qu'un diviseur de 4.
4. Probabilité d'obtenir un nombre premier :
Listons les nombres premiers entre 1 et 20 : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Il y en a 8 au total. La probabilité est P = 8/20. En simplifiant par 4, on obtient 2/5.
Conclusion pour la Première Spécialité
En Première, cet exercice sert de rampe de lancement pour introduire des concepts plus avancés comme les variables aléatoires. On pourrait par exemple imaginer un gain associé au tirage d'un nombre premier et calculer l'espérance mathématique du jeu. Maîtriser ce dénombrement de base est la condition sine qua non pour réussir les chapitres plus denses du programme.