Analyse de l'énoncé : Comprendre les fonctions et l'outil tableur

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, pose les jalons fondamentaux du programme de Première Spécialité en travaillant sur les fonctions polynômes. L'énoncé présente trois types de fonctions : une fonction linéaire $f(x)$, une fonction affine $h(x)$ et surtout une fonction polynôme du second degré $g(x)$. L'usage du tableur est ici un prétexte pour tester la capacité de l'élève à passer d'une expression algébrique à une valeur numérique et à comprendre la logique de programmation simple (syntaxe des formules).

Points de vigilance et notions de cours

• Priorités opératoires : Lors du calcul manuel de $g(-3)$, il est crucial de bien gérer le carré d'un nombre négatif : $(-3)^2 = 9$.
• Vocabulaire des fonctions : La distinction entre image et antécédent doit être parfaitement intégrée. Rappelons que $y$ est l'image de $x$, et $x$ est l'antécédent de $y$.
• Équations du second degré : En classe de Première, la question 5.b fait directement appel à la résolution d'équations de type $ax^2 + bx + c = 0$. Même si ici une factorisation par $x$ suffit, l'usage du discriminant $\Delta$ est également une méthode valide.
• Syntaxe Tableur : N'oubliez jamais le signe '=' en début de cellule et l'utilisation de '*' pour la multiplication.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Détermination de $h(-2)$ : Dans le tableau, la ligne 1 correspond aux valeurs de $x$ et la ligne 4 à la fonction $h(x)$. Pour $x = -2$ (colonne C), on lit directement dans la cellule C4 la valeur -17.

2. Calcul de $g(-3)$ : On remplace $x$ par $-3$ dans l'expression $g(x) = 3x^2 - 9x - 7$.
$g(-3) = 3 \times (-3)^2 - 9 \times (-3) - 7 = 3 \times 9 + 27 - 7 = 27 + 27 - 7 = 54 - 7 = 47$. On confirme ainsi la valeur de la cellule B3.

3. Vocabulaire : On peut dire que : "L'image de -3 par la fonction g est 47" ou "47 est l'image de -3 par la fonction g" ou encore "-3 est un antécédent de 47 par la fonction g".

4. Formule Tableur : Pour la fonction $h(x) = 5x - 7$, la formule saisie en B4 doit faire référence à la cellule de la variable $x$, c'est-à-dire B1. La formule est donc : =5*B1-7.

5. Résolution de l'équation :
a. On cherche $x$ tel que $g(x) = h(x)$. Dans le tableau, on compare les lignes 3 et 4. Pour $x = 0$, on constate que $g(0) = -7$ et $h(0) = -7$. Une solution est donc $x = 0$.
b. Pour savoir s'il existe une autre solution, résolvons algébriquement : $3x^2 - 9x - 7 = 5x - 7$. En simplifiant par +7 des deux côtés, on obtient $3x^2 - 14x = 0$. En factorisant par $x$, on a $x(3x - 14) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On trouve soit $x = 0$, soit $3x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14/3$. Il existe donc bien une deuxième solution : $14/3 \approx 4,67$.