Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu initialement d'une base DNB, constitue une excellente introduction aux notions de Polynômes et de Second degré pour un élève de Première Spécialité. L'objectif est de passer d'une représentation tabulaire (tableur) à une analyse fonctionnelle complexe en étudiant le produit de deux fonctions de degré 1.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les points suivants :
- Syntaxe tableur : Comprendre l'utilisation des références de cellules (B1, B2) et l'adressage relatif lors de la recopie.
- Fonctions de référence : Identifier les fonctions affines et linéaires.
- Développement algébrique : Savoir multiplier deux expressions du premier degré pour obtenir une forme développée de type $ax^2 + bx + c$.
- Définition d'un polynôme : Reconnaître qu'une fonction n'est plus affine dès que le degré de $x$ est supérieur à 1.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Formule tableur : Pour calculer l'image de $x$ par la fonction $f(x) = -8x$ dans la cellule B2, on utilise la valeur de $x$ située en B1. La formule à saisir est : =-8*B1. Lors de la recopie vers la droite, l'indice de colonne s'incrémentera automatiquement (C1, D1, E1), permettant le calcul automatique des autres images.
2. Recherche de l'antécédent (Cellule E1) : Nous savons que dans la colonne E, l'image par $f$ est $f(x) = -24$. Pour trouver $x$, nous résolvons l'équation :
$-8x = -24$
$x = \frac{-24}{-8} = 3$.
Le contenu de la cellule E1 est donc 3. On peut vérifier avec la fonction $g$ : $g(3) = -6 \times 3 + 4 = -18 + 4 = -14$, ce qui correspond bien à la valeur affichée en E3.
3. Étude de la fonction h : La fonction $h$ est définie par $h(x) = f(x) \times g(x)$.
En remplaçant par les expressions algébriques :
$h(x) = (-8x) \times (-6x + 4)$
$h(x) = (-8x) \times (-6x) + (-8x) \times 4$
$h(x) = 48x^2 - 32x$.
L'expression de $h(x)$ contient un terme en $x^2$. Par conséquent, $h$ n'est pas une fonction affine (qui est de la forme $ax+b$), mais une fonction polynôme du second degré. Sa représentation graphique serait une parabole et non une droite.