Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, initialement proposé au Brevet des Collèges, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. Il aborde des automatismes fondamentaux qui, s'ils ne sont pas maîtrisés, peuvent freiner la progression sur des chapitres plus complexes comme la dérivation ou l'étude des fonctions polynômes du second degré. L'analyse porte sur trois axes : la proportionnalité (taux d'évolution), les puissances de 2 (base de la logique binaire et des suites géométriques) et le développement algébrique (identités remarquables).
Points de vigilance et notions clés
Pour la première question, la confusion entre valeur de réduction et taux de réduction est fréquente. Un élève de Première doit immédiatement penser au coefficient multiplicateur : $CM = 1 - \frac{p}{100}$. Pour la deuxième question, la manipulation des puissances est essentielle pour le chapitre sur l'exponentielle et les suites. Enfin, la troisième question teste la rigueur sur les identités remarquables, où l'erreur de signe sur le dernier terme ($b^2$) est un grand classique des copies de lycée.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul du pourcentage de réduction :
Le prix initial est de 80€ et le prix final est de 60€. La réduction brute est de $80 - 60 = 20€$. Pour trouver le taux de réduction $p$, on calcule le rapport entre la réduction et le prix de départ : $\frac{20}{80} = \frac{1}{4} = 0,25$. Le nombre caché sous la tache est donc 25%.
2. Puissance de 2 :
On cherche $n$ tel que $2^n = 2048$. Par itérations successives (ou connaissance des puissances de 2 pour les sections NSI), on sait que $2^{10} = 1024$. Par conséquent, $2^{11} = 1024 \times 2 = 2048$. La réponse attendue est 11.
3. Développement de l'expression :
L'expression est de la forme $(a - b)^2$, dont le développement est $a^2 - 2ab + b^2$. Ici, $a = 2x$ et $b = 1$.
- $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$
- $-2ab = -2 \times 2x \times 1 = -4x$
- $b^2 = 1^2 = 1$
On obtient donc $4x^2 - 4x + 1$. Jules a proposé $4x^2 - 4x - 1$. Il a commis une erreur sur le signe du dernier terme. Jules a donc tort. Cette erreur est cruciale car elle modifierait le discriminant $\Delta$ lors de la résolution d'une équation du second degré associée.