Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité, notamment sur le chapitre des fonctions polynômes de degré 1 (fonctions affines). L'objectif est de comparer deux modèles mathématiques modélisant la fréquence cardiaque maximale (FCM) en fonction de l'âge $x$. Le premier modèle $f(x) = 220 - x$ est une fonction affine décroissante classique, tandis que le second modèle $g(x) = 208 - 0,7x$ propose un ajustement plus récent.

Points de vigilance et notions requises

• Manipulation de fonctions affines : Il faut savoir identifier le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. Pour $g(x)$, le coefficient est $-0,7$, ce qui indique une décroissance plus lente que pour $f(x)$ dont le coefficient est $-1$.
• Résolution d'inéquation : La question 3 nécessite de résoudre $g(x) \geq f(x)$. Une attention particulière doit être portée au changement de sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif (même si ici, on privilégiera le regroupement des $x$ pour garder un coefficient positif).
• Interprétation graphique : Savoir que l'intersection des deux droites correspond au point d'équilibre entre les deux modèles.

Guide de résolution détaillé

1. Calculs d'images :
Pour $x = 5$ :
$f(5) = 220 - 5 = 215$ pulsations/min.
$g(5) = 208 - 0,7 \times 5 = 208 - 3,5 = 204,5$ pulsations/min.

2. Construction graphique :
La droite $d$ (fonction $f$) passe par les points $(0, 220)$ et $(100, 120)$. La droite $d'$ (fonction $g$) passe par $(0, 208)$ et $(40, 180)$. Les élèves de Première doivent être capables de tracer ces droites avec précision sur le papier millimétré fourni.

3. Comparaison des modèles :
On cherche $x$ tel que $g(x) \geq f(x)$ :
$208 - 0,7x \geq 220 - x$
$-0,7x + x \geq 220 - 208$
$0,3x \geq 12$
$x \geq \frac{12}{0,3}$
$x \geq 40$.
À partir de 40 ans, la nouvelle formule donne une fréquence maximale plus élevée ou égale à l'ancienne. Cela confirme l'affirmation du journal : pour les plus de 40 ans, la FCM augmente par rapport à l'ancien modèle.

4. Application pratique :
Pour une personne de 30 ans : $g(30) = 208 - 0,7 \times 30 = 208 - 21 = 187$.
L'effort optimal est à 80% de cette valeur : $187 \times 0,8 = 149,6$. La fréquence cible est donc d'environ 150 pulsations/minute.