Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège, constitue une base fondamentale pour tout élève de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de la manipulation d'expressions algébriques du second degré, une compétence transversale nécessaire pour aborder le chapitre sur les polynômes, l'étude de fonctions et les dérivées. L'objectif est triple : transformer une expression (forme développée vs forme factorisée), vérifier une égalité entre deux fonctions, et résoudre une équation produit nul.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées sur le bout des doigts :
- La distributivité : Qu'elle soit simple ou double, elle permet d'aboutir à la forme développée $ax^2 + bx + c$. Attention aux erreurs de signes lors de la distribution du signe moins devant la parenthèse $-3(x-2)$.
- Le facteur commun : Identifier $(x-2)$ comme l'élément pivot pour la factorisation. En Première, cela renvoie à la recherche de racines évidentes.
- L'équation produit nul : Un principe essentiel stipulant qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Correction détaillée
1. Développement de l'expression $E$ :
Partons de $E = (x - 2)(2x + 3) - 3(x - 2)$.
Appliquons la double distributivité sur le premier bloc :
$(x - 2)(2x + 3) = x \times 2x + x \times 3 - 2 \times 2x - 2 \times 3 = 2x^2 + 3x - 4x - 6 = 2x^2 - x - 6$.
Distribuons maintenant le terme $-3$ :
$-3(x - 2) = -3x + 6$.
En combinant le tout :
$E = 2x^2 - x - 6 - 3x + 6$.
Les termes constants s'annulent ($ -6 + 6 = 0$).
On obtient la forme développée : $E = 2x^2 - 4x$.
2. Factorisation de $E$ :
On remarque que $(x - 2)$ est présent dans les deux termes de la soustraction.
$E = \mathbf{(x - 2)}(2x + 3) - 3\mathbf{(x - 2)}$.
En mettant $(x - 2)$ en facteur :
$E = (x - 2) [(2x + 3) - 3]$
$E = (x - 2) [2x + 3 - 3]$
$E = (x - 2)(2x)$ ou encore $E = 2x(x - 2)$.
Vérification : Soit $F = x(x - 2)$. On constate immédiatement que $E = 2 \times F$, ce qui confirme l'égalité $E = 2F$.
3. Résolution de l'équation $E = 0$ :
Il est toujours préférable d'utiliser la forme factorisée pour résoudre une équation de type $f(x) = 0$.
L'équation devient : $2x(x - 2) = 0$.
C'est une équation produit nul. Les solutions sont :
1) $2x = 0 \implies x = 0$
2) $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Les solutions de l'équation sont 0 et 2.