Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Nord 2015, est un excellent support pour travailler la modélisation algébrique. En classe de Première Spécialité, savoir traduire un énoncé textuel en une équation mathématique est une compétence fondamentale. Ici, le programme de calcul mène à une équation qui met en jeu des expressions polynomiales.
Points de vigilance et notions de cours
- Identités remarquables : L'étape 'élever au carré' nécessite l'application rigoureuse de la formule $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
- Développement et réduction : Une erreur de signe lors de la soustraction du carré initial est classique. Il faut rester vigilant lors de la simplification des termes en $x^2$.
- Résolution d'équation : Bien que l'expression comporte des carrés, elle se simplifie en une équation du premier degré, facilitant la recherche de l'inconnue.
Guide de résolution détaillé
Soit $x$ le nombre de départ recherché. Suivons pas à pas les instructions de l'énoncé :
- On choisit un nombre : $x$
- On lui soustrait 10 : $x - 10$
- On élève le tout au carré : $(x - 10)^2$
- On soustrait le carré du nombre de départ : $(x - 10)^2 - x^2$
L'énoncé stipule que le résultat obtenu est $-340$. Nous devons donc résoudre l'équation :
$(x - 10)^2 - x^2 = -340$
Étape 1 : Développement. En utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2$, on développe $(x-10)^2$ :
$x^2 - 2 imes x imes 10 + 10^2 - x^2 = -340$
Étape 2 : Simplification. Les termes en $x^2$ s'annulent ($x^2 - x^2 = 0$) :
$-20x + 100 = -340$
Étape 3 : Isolation de l'inconnue.
$-20x = -340 - 100$
$-20x = -440$
$x = rac{-440}{-20}$
$x = 22$
Le nombre auquel on a pensé est donc 22. On peut vérifier : $(22-10)^2 - 22^2 = 12^2 - 484 = 144 - 484 = -340$. La solution est cohérente.