Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'initialement posé dans un contexte de fin de collège, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Il sollicite des compétences fondamentales en modélisation mathématique et en gestion des ordres de grandeur. Dans le programme de spécialité, ces notions sont les piliers sur lesquels reposent des chapitres plus complexes comme les Suites numériques ou les Probabilités. L'enjeu ici est de transformer un énoncé textuel complexe en une suite d'opérations arithmétiques cohérentes tout en respectant les unités de mesure.

Points de vigilance et prérequis

• La conversion temporelle : Ne pas oublier qu'une année civile compte 12 mois et 365 jours pour les calculs de moyenne quotidienne.
• La gestion des grands nombres : Savoir manipuler les millions (10^6) et les milliards (10^9) sans se tromper dans le nombre de zéros.
• Les unités de masse : Maîtriser la conversion des tonnes en kilogrammes (1 tonne = 1 000 kg).
• La précision numérique : Distinguer une valeur exacte d'une valeur approchée, surtout lorsqu'on traite des données démographiques à grande échelle.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 : Calcul du budget annuel

Pour déterminer le budget annuel de la ville, nous devons multiplier le coût mensuel par habitant par le nombre d'habitants, puis par le nombre de mois dans l'année.

• Coût mensuel total = 50 000 habitants × 10 €/habitant = 500 000 € par mois.
• Budget annuel = 500 000 €/mois × 12 mois = 6 000 000 €.

Le budget annuel de la ville pour le traitement des poubelles ménagères s'élève donc à 6 millions d'euros.

Question 2 : Production de déchets par jour et par habitant

Nous devons vérifier si la production dépasse 1 kg par jour. Procédons par étapes :

• Conversion de la masse : 30 millions de tonnes = 30 000 000 000 kg (soit 30 × 10^9 kg).
• Production par habitant par an : 30 000 000 000 kg / 65 000 000 habitants ≈ 461,54 kg par habitant par an.
• Production par habitant par jour : 461,54 kg / 365 jours ≈ 1,26 kg par jour.

L'affirmation est donc vraie : un habitant produisait en moyenne environ 1,26 kg de déchets par jour, ce qui est effectivement un peu plus de 1 kg.

Vers la Première Spécialité

En spécialité mathématiques, ce type de problème pourrait être étendu par l'étude d'une suite géométrique si la production de déchets augmentait de x% chaque année, ou par l'utilisation de fonctions dérivées pour optimiser les coûts de traitement. La rigueur dans la conversion des unités est la même que celle requise en physique-chimie ou lors de l'étude du produit scalaire en géométrie repérée.