Analyse de l'énoncé : Modélisation et Géométrie
Cet exercice propose une situation concrète de gestion de ressources dans une station de ski. Pour un élève de Première Spécialité, l'enjeu réside dans la capacité à modéliser un problème physique par des outils mathématiques rigoureux : calcul de volumes, gestion des proportions et analyse de débits temporels. Bien que l'énoncé semble accessible, il nécessite une grande rigueur dans la manipulation des unités et la structuration des étapes de calcul, des compétences essentielles pour aborder les chapitres sur l'optimisation ou les suites numériques.
Points de vigilance et notions requises
La principale difficulté de cet exercice réside dans la conversion des unités. L'épaisseur de la neige est donnée en centimètres ($40$~cm) tandis que les dimensions de la piste sont en mètres. Une erreur classique consiste à multiplier directement les valeurs sans conversion préalable. Il faut également bien distinguer le volume de neige (produit fini) du volume d'eau (matière première), ce qui fait appel à la notion de proportionnalité directe.
- Volume d'un parallélépipède rectangle : $V = L \times l \times h$.
- Conversion : $1\text{ m} = 100\text{ cm} \implies 40\text{ cm} = 0,4\text{ m}$.
- Débit : La relation entre le volume total, le temps et le débit est donnée par $V = D \times t$.
Guide de résolution détaillé
1. Calcul des volumes de neige et d'eau
La piste de slalom est un rectangle de $480\text{ m}$ par $25\text{ m}$. L'épaisseur souhaitée est de $0,4\text{ m}$. Le volume de neige $V_{neige}$ se calcule ainsi :
$V_{neige} = 480 \times 25 \times 0,4 = 4800\text{ m}^3$.
D'après l'énoncé, $1\text{ m}^3$ d'eau produit $2\text{ m}^3$ de neige. Le rapport est donc de $\frac{1}{2}$. Le volume d'eau nécessaire est :
$V_{eau} = \frac{4800}{2} = 2400\text{ m}^3$.
2. Calcul du temps de fonctionnement
Nous avons $7$ canons à neige. Chaque canon a un débit de $30\text{ m}^3/h$. Le débit total de la station est donc :
$D_{total} = 7 \times 30 = 210\text{ m}^3/h$.
Pour produire les $4800\text{ m}^3$ de neige, la durée $T$ est :
$T = \frac{V_{total}}{D_{total}} = \frac{4800}{210} \approx 22,857\text{ h}$.
L'énoncé demande le résultat à l'heure près. En observant la partie décimale ($0,857 > 0,5$), on arrondit par excès : la durée nécessaire est d'environ 23 heures.