Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Amérique du Nord 2019, sollicite des compétences fondamentales en géométrie plane. Bien que les notions de base (Pythagore, Thalès) soient introduites au collège, leur maîtrise est indispensable en Première Spécialité, notamment pour aborder le produit scalaire et la géométrie repérée. L'exercice se décompose en trois étapes : la vérification de l'orthogonalité, le calcul d'un angle via les rapports trigonométriques, et l'étude du parallélisme via la réciproque ou la contraposée du théorème de Thalès.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit être attentif aux points suivants :
- Réciproque du théorème de Pythagore : Il est crucial de comparer séparément le carré du côté le plus long avec la somme des carrés des deux autres côtés.
- Trigonométrie : Identifier correctement l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé dans un triangle rectangle.
- Théorème de Thalès : S'assurer de l'alignement des points dans le bon ordre et comparer les rapports de longueurs correspondants.
Correction détaillée
1. Nature du triangle AEF :
Le côté le plus long est AF. Calculons :
$AF^2 = 10^2 = 100$.
D'autre part : $AE^2 + EF^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
Puisque $AF^2 = AE^2 + EF^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEF est rectangle en E.
2. Calcul de l'angle $\widehat{EAF}$ :
Dans le triangle AEF rectangle en E, nous avons :
$\cos(\widehat{EAF}) = \frac{AE}{AF} = \frac{8}{10} = 0,8$.
À l'aide de la calculatrice (touche Arccos), on trouve $\widehat{EAF} \approx 37°$ (arrondi au degré près).
3. Étude du parallélisme des droites (EF) et (RT) :
Les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A. Comparons les rapports :
$\frac{AE}{AR} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0,666$.
$\frac{AF}{AT} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \approx 0,714$.
Puisque $\frac{AE}{AR} \neq \frac{AF}{AT}$, le théorème de Thalès n'est pas vérifié. Par conséquent, les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles.