Analyse de l'énoncé

Cet exercice issu du sujet Asie 2017 est une excellente synthèse des compétences de géométrie plane. Bien qu'ancré dans des notions de collège, sa maîtrise est indispensable en Première Spécialité pour aborder sereinement le produit scalaire et la géométrie repérée. L'exercice présente trois scénarios indépendants impliquant deux triangles, ABC et BDE, partageant un sommet commun B, avec des points alignés formant une configuration classique de 'papillon' ou de triangles emboîtés selon les cas.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs outils du socle commun doivent être parfaitement mobilisés :

• Théorème de Pythagore : Utilisé pour calculer une longueur dans un triangle rectangle quand deux côtés sont connus.
• Trigonométrie (SOH CAH TOA) : Essentielle pour lier les angles et les longueurs dans le triangle rectangle (ici, l'utilisation du sinus).
• Théorème de Thalès : Indispensable pour les calculs de proportionnalité dans des configurations avec des droites parallèles (ici, (AC) et (DE) sont perpendiculaires à la même droite (AE), donc elles sont parallèles).

Correction détaillée et guide de résolution

Cas n°1 : Le théorème de Pythagore

Dans le triangle ABC, nous savons qu'il est rectangle en A (indiqué par le codage sur la figure). Nous connaissons l'hypoténuse CB = 85 cm et le côté adjacent AC = 51 cm. D'après le théorème de Pythagore :
CB² = AB² + AC²
85² = AB² + 51²
7225 = AB² + 2601
AB² = 7225 - 2601 = 4624
AB = √4624 = 68 cm (Réponse A).

Cas n°2 : Utilisation de la trigonométrie

Dans le triangle ABC rectangle en A, nous cherchons le côté opposé AB à l'angle ACB, en connaissant l'hypoténuse CB = 9 cm et l'angle ACB = 62°. La formule appropriée est le sinus :
sin(ACB) = AB / CB
sin(62°) = AB / 9
AB = 9 × sin(62°) ≈ 9 × 0,8829 ≈ 7,9 cm (Réponse C).

Cas n°3 : Le théorème de Thalès

Les droites (AC) et (DE) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AE), elles sont donc parallèles. Les points A, B, E d'une part et C, B, D d'autre part sont alignés. Nous sommes dans une configuration de Thalès. Le rapport de proportionnalité s'écrit :
AB / BE = AC / DE
AB / 7 = 8 / 5
AB = (8 × 7) / 5 = 56 / 5 = 11,2 cm (Réponse A).

Conclusion pour la Première Spécialité

La rapidité d'exécution sur ces calculs de base permet de se concentrer sur les nouveautés du programme de Première, comme l'utilisation des coordonnées de vecteurs ou le calcul d'angles orientés.