Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité souhaitant consolider ses compétences en modélisation géométrique et en gestion des grandeurs. L'énoncé nous place dans un contexte concret : un hippodrome. L'objectif est de mobiliser des outils fondamentaux pour calculer un périmètre, transformer des unités de vitesse et résoudre un problème d'optimisation budgétaire.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont nécessaires :

• Géométrie : Connaître la formule de la circonférence d'un cercle $C = 2 \pi r$. Ici, la réunion de deux demi-cercles forme un cercle complet de rayon $r = 40$ m.
• Cinématique : Maîtriser la relation $v = \frac{d}{t}$ et savoir convertir un temps exprimé en minutes/secondes en secondes totales.
• Arithmétique : Savoir qu'on ne peut pas acheter une fraction de sac de gazon. Il faut donc systématiquement arrondir à l'entier supérieur lors du calcul du nombre de sacs nécessaires.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Longueur d'un tour de piste :
La piste est composée de deux segments de $850$ m et de deux demi-cercles de rayon $40$ m. La longueur totale $L$ est donnée par :
$L = 2 \times 850 + 2 \pi \times 40 = 1700 + 80 \pi$.
En prenant $\pi \approx 3,14159$, on obtient $L \approx 1700 + 251,33 \approx 1951,33$ m. La longueur est donc bien d'environ $1951$ mètres.

2. Calcul de la vitesse moyenne :
a) Le temps total est $t = 2 \text{ min } 9 \text{ s} = 2 \times 60 + 9 = 129$ s.
La vitesse est $v = \frac{d}{t} = \frac{1951}{129} \approx 15,12$ m/s. À l'unité près, la vitesse est de $15$ m/s.
b) Pour convertir en km/h, on multiplie par $3,6$ : $15,12 \times 3,6 \approx 54,4$ km/h.

Optimisation du coût du gazon

C'est ici qu'intervient une forme d'algorithmie décisionnelle. Pour chaque marque, nous devons calculer le nombre de sacs (en arrondissant à l'excès) puis le prix total :

• Marque A : $73027 / 500 \approx 146,05 \rightarrow 147$ sacs. Prix : $147 \times 141,95 = 20866,65$ €.
• Marque B : $73027 / 400 \approx 182,56 \rightarrow 183$ sacs. Prix : $183 \times 87,90 = 16085,70$ €.
• Marque C : $73027 / 300 \approx 243,42 \rightarrow 244$ sacs. Prix : $244 \times 66,50 = 16226,00$ €.