Analyse de l'énoncé et enjeux mathématiques

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales de calcul numérique et de géométrie spatiale qui restent essentielles en Première Spécialité. Il demande une grande rigueur dans la lecture de l'énoncé, notamment sur la distinction entre les dimensions de l'objet (le pot) et les dimensions du contenu (la confiture), ainsi qu'une maîtrise parfaite des conversions d'unités (litres vers centimètres cubes).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir ce type de sujet, l'élève doit maîtriser plusieurs points clés :

• La proportionnalité : Savoir appliquer un coefficient de proportionnalité ou utiliser le produit en croix pour déterminer une quantité de sucre proportionnelle à une masse de fruits.
• La géométrie du cylindre : Se souvenir que le volume $V = \pi \times R^2 \times h$. Une erreur classique consiste à utiliser le diamètre à la place du rayon.
• La gestion des contraintes : L'énoncé précise que le pot n'est rempli que jusqu'à 1 cm du bord. Il faut donc adapter la hauteur de remplissage ($h = 12 - 1 = 11$ cm) avant d'effectuer les calculs de volume.
• Conversions d'unités : Savoir que $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$.

Correction détaillée et méthodologie

1. Quantité de sucre :
On utilise la proportion donnée par la grand-mère. Pour 1 kg de fraises, il faut 0,7 kg de sucre. Pour 1,8 kg de fraises, la règle de trois nous donne : $1,8 \times 0,7 = 1,26$. Léo a donc besoin de 1,26 kg de sucre.

2. Nombre de pots :
Commençons par calculer le volume de confiture contenu dans un seul pot. Le diamètre est de 6 cm, donc le rayon $R = 3$ cm. La hauteur de confiture est $h = 12 - 1 = 11$ cm.
Le volume d'un pot $V_{pot} = \pi \times 3^2 \times 11 = 99\pi \approx 311,02 \text{ cm}^3$.
Léo dispose de 2,7 litres de confiture, soit $2,7 \times 1000 = 2700 \text{ cm}^3$.
Le nombre de pots est : $2700 / 311,02 \approx 8,68$. Léo pourra donc remplir complètement 8 pots.

3. Étiquette et échelle :
a) La longueur de l'étiquette correspond à la circonférence de la base du cylindre. $L = 2 \times \pi \times R = \pi \times D = 6\pi \approx 18,849$ cm. On arrondit bien à 18,8 cm comme demandé.
b) À l'échelle 1/3, les dimensions réelles sont divisées par 3. La longueur sera de $18,8 / 3 \approx 6,27$ cm et la hauteur sera de $12 / 3 = 4$ cm. L'étiquette dessinée est donc un rectangle de $6,27 \times 4$ cm.