Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'ancré dans des rappels de géométrie plane fondamentale, mobilise des compétences de raisonnement déductif essentielles au programme de mathématiques de Première Spécialité. L'objectif est de déterminer des mesures d'angles inconnues ($x$, $y$, $z$) en exploitant les propriétés des figures usuelles, des droites parallèles et de l'alignement de points. L'énoncé s'appuie sur une figure complexe où les codages (angles, perpendicularité, longueurs égales) sont déterminants pour la résolution.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées :

• La somme des angles d'un triangle : Elle est toujours égale à 180°.
• Les angles supplémentaires : Deux angles dont la somme fait 180° (cas de points alignés).
• Droites parallèles et sécantes : Les propriétés des angles alternes-internes et correspondants sont ici indirectement mobilisées via le parallélisme de (BA) et (EC).
• Propriétés des triangles isocèles : Un triangle ayant deux côtés de même longueur possède deux angles à la base égaux.
• Perpendicularité et parallélisme : Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Calcul de l'angle $x$ (angle $\widehat{ACB}$)

Dans le triangle ABC, nous connaissons déjà deux mesures d'angles : $\widehat{BAC} = 108^\circ$ et $\widehat{ABC} = 36^\circ$. La propriété fondamentale stipule que la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$.
On a donc : $x = 180 - (108 + 36) = 180 - 144 = 36^\circ$.
Le triangle ABC est donc isocèle en A car il possède deux angles de même mesure ($36^\circ$).

2. Mesure de l'angle $y$ (angle $\widehat{CBE}$)

a. Relation entre (AB) et (EB) : La figure indique par un symbole de codage que (EB) est perpendiculaire à (EC). De plus, l'énoncé précise que les droites (BA) et (EC) sont parallèles. Selon la propriété du cours : « Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre ». Par conséquent, les droites (AB) et (EB) sont perpendiculaires.

b. Calcul de $y$ : Puisque (AB) $\perp$ (EB), l'angle $\widehat{ABE}$ est un angle droit ($90^\circ$). L'angle $\widehat{ABE}$ est composé de deux angles adjacents : $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBE}$.
Ainsi, $\widehat{ABE} = \widehat{ABC} + \widehat{CBE} \implies 90^\circ = 36^\circ + y$.
On en déduit : $y = 90 - 36 = 54^\circ$.

3. Mesure de l'angle $z$ (angle $\widehat{ADC}$)

Pour trouver $z$, procédons par étapes :

• Angle $\widehat{CAD}$ : Les points B, A et D sont alignés. L'angle $\widehat{BAD}$ est donc un angle plat ($180^\circ$). On a $\widehat{CAD} = 180 - \widehat{BAC} = 180 - 108 = 72^\circ$.
• Nature du triangle ACD : Les segments [AC] et [CD] portent le même symbole de codage, ce qui signifie que $AC = CD$. Le triangle ACD est donc isocèle en C.
• Calcul de $z$ : Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure. Cependant, ici, les côtés égaux sont [AC] et [CD], donc le sommet principal est C. Les angles à la base sont $\widehat{CAD}$ et $\widehat{ADC}$.
  Par conséquent, $z = \widehat{ADC} = \widehat{CAD} = 72^\circ$.