Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un rappel essentiel pour le programme de Première Spécialité, notamment pour la manipulation des vecteurs et la géométrie repérée. L'énoncé présente une situation concrète de parcours sportif modélisée par des triangles. La configuration géométrique repose sur deux principes clés : l'utilisation du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle et l'application du théorème de Thalès (configuration dite en 'papillon' ou 'nœud papillon').
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit être capable de :
- Identifier les triangles rectangles à l'aide des codages (ici les angles droits en A et E).
- Appliquer correctement le théorème de Pythagore pour calculer une longueur d'hypoténuse.
- Justifier le parallélisme de deux droites : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
- Rédiger les rapports de proportionnalité du théorème de Thalès en respectant l'alignement des points à partir du sommet commun C.
Correction détaillée
1. Calcul de la longueur BC :
Dans le triangle ABC, nous savons qu'il est rectangle en A (d'après le codage de la figure). Selon le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 300² + 400²
BC² = 90 000 + 160 000 = 250 000
BC = √250 000 = 500 m.
2. Démonstration de la longueur ED :
Les droites (AB) et (ED) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AE). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. Donc (AB) // (ED).
Les points A, C, E sont alignés ainsi que B, C, D. Les droites (AB) et (ED) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports :
CA / CE = CB / CD = AB / ED
En utilisant CA / CE = AB / ED, on obtient : 400 / 1000 = 300 / ED.
D'où ED = (300 × 1000) / 400 = 300 000 / 400 = 750 m.
3. Longueur totale du parcours ABCDE :
Le parcours est composé des segments [AB], [BC], [CD] et [DE]. Il nous manque la longueur CD.
D'après le rapport de Thalès précédent : 400 / 1000 = 500 / CD.
CD = (500 × 1000) / 400 = 1250 m.
Longueur totale = AB + BC + CD + DE = 300 + 500 + 1250 + 750 = 2800 m.
La longueur réelle du parcours est de 2,8 km.