Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base de révision essentielle pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie euclidienne : la caractérisation d'un triangle rectangle, le calcul de longueurs via le théorème de Thalès et la démonstration du parallélisme par sa réciproque. En Première, ces notions sont le socle nécessaire pour aborder sereinement le produit scalaire et la géométrie repérée dans le plan.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, vous devez maîtriser les concepts suivants :
- Théorème de Pythagore : Savoir utiliser la réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle.
- Théorème de Thalès : Identifier une configuration de triangles emboîtés et rédiger correctement les rapports d'égalité.
- Réciproque de Thalès : Comparer les rapports de longueurs pour conclure sur le parallélisme de deux droites.
- Alignement et ordre des points : Des conditions indispensables pour l'application des théorèmes de géométrie plane.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Nature du triangle AFG :
Dans le triangle AFG, le côté le plus long est [AF] avec 5 cm. Calculons séparément les carrés :
AF² = 5² = 25
FG² + AG² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
On constate que AF² = FG² + AG². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFG est rectangle en G.
2. Calcul de la longueur AD :
Les droites (DF) et (EG) sont sécantes en A. On sait que les droites (DE) et (FG) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports suivants :
AF / AD = AG / AE = FG / DE.
En utilisant AF / AD = FG / DE, on obtient : 5 / AD = 3 / 8,1.
Par un produit en croix : AD = (5 × 8,1) / 3 = 13,5 cm.
Pour en déduire FD : FD = AD - AF = 13,5 - 5 = 8,5 cm.
3. Étude du parallélisme entre (FG) et (BC) :
Les points A, F, B d'une part et A, G, C d'autre part sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes en A. Comparons les rapports :
AF / AB = 5 / 6,25 = 0,8
AG / AC = 4 / 5 = 0,8
Comme AF / AB = AG / AC, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (BC) sont parallèles.