Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet (DNB 2015), constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs acquis en géométrie plane. L'énoncé place l'élève dans un contexte concret : la retransmission télévisée d'une course cycliste impliquant un avion, des hélicoptères et des motos. Le problème repose sur l'exploitation des propriétés de parallélisme et l'application d'un théorème fondamental du collège, souvent réutilisé dans les problèmes de géométrie spatiale ou de vecteurs en Première.

Points de vigilance et notions requises

• Conversion d'unités : Les distances sont données en kilomètres ($AM = 1$ km) et en mètres ($HL = 270$ m). Il est impératif de tout convertir dans la même unité avant d'entamer les calculs.
• Justification du parallélisme : La première question demande de relever explicitement une phrase de l'énoncé. La géométrie n'est pas qu'une affaire de calculs, mais aussi de lecture rigoureuse.
• Théorème de Thalès : La configuration de points alignés convergeant vers un sommet commun (le point A) est la signature typique de Thalès.

Correction détaillée

1. Justification du parallélisme :

La phrase permettant d'affirmer que les droites $(LH)$ et $(MN)$ sont parallèles est : "On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale."

En effet, si les deux points $L$ et $H$ sont à la même altitude, la droite $(LH)$ est horizontale. Comme la route sur laquelle se trouvent les motos $M$ et $N$ est également horizontale, les deux droites sont parallèles entre elles.

2. Calcul de la distance $MN$ :

Dans le triangle $AMN$, les points $A, H, M$ sont alignés ainsi que les points $A, L, N$. Les droites $(HL)$ et $(MN)$ étant parallèles, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès :

$\frac{AH}{AM} = \frac{AL}{AN} = \frac{HL}{MN}$

Utilisons les valeurs connues (en convertissant $1$ km en $1000$ m) :
$\frac{720}{1000} = \frac{270}{MN}$

Par un produit en croix, on obtient :
$MN = \frac{270 \times 1000}{720}$
$MN = \frac{270000}{720}$
$MN = 375$

La distance entre les deux motos est donc de 375 mètres.