Analyse de l'épreuve : Un test de rapidité et de précision
Cet exercice extrait du sujet Amérique du Sud 2021 constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Bien que les notions abordées trouvent leur origine au collège, leur maîtrise parfaite est indispensable pour aborder les chapitres complexes comme le Second degré ou la Géométrie repérée. L'exercice se présente sous forme d'affirmations à justifier, un format qui exige non seulement de trouver le résultat exact mais aussi de structurer une démonstration rigoureuse.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :
- Arithmétique : Savoir décomposer en facteurs premiers ou vérifier la divisibilité (crucial pour la simplification de racines carrées en Spé).
- Calcul Littéral : Identifier les identités remarquables et ne pas tomber dans le piège classique de la distributivité de l'exposant sur une somme.
- Analyse Fonctionnelle : Distinguer l'image et l'antécédent, une base fondamentale pour l'étude des fonctions polynômes et exponentielles.
- Statistiques : Calculer une moyenne pondérée ou simple.
- Géométrie Plane : Appliquer les théorèmes de Pythagore et de Thalès (et sa réciproque) pour démontrer des parallélismes ou des longueurs.
Correction détaillée et Guide de résolution
Affirmation 1 (Vraie) : Pour vérifier si 72 est un multiple de 12 et 18, on effectue les divisions : 72 / 12 = 6 et 72 / 18 = 4. Les résultats étant des entiers, l'affirmation est validée.
Affirmation 2 (Fausse) : C'est l'erreur classique ! En Première, on sait que (n - 5)² est une identité remarquable de la forme (a - b)². On a (n - 5)² = n² - 10n + 25, ce qui est différent de n² - 25.
Affirmation 3 (Vraie) : Trouver l'antécédent de 6 revient à résoudre l'équation f(x) = 6. Soit 2x + 5 = 6, d'où 2x = 1 et x = 1/2. L'antécédent est bien 0,5.
Affirmation 4 (Fausse) : La moyenne se calcule par la somme des valeurs divisée par l'effectif : (5+7+11+8+5+6)/6 = 42/6 = 7. La valeur annoncée de 6,5 est donc incorrecte.
Affirmation 5 (Vraie) : Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225. On a donc AC = √225 = 15 cm.
Affirmation 6 (Vraie) : On utilise la réciproque du théorème de Thalès dans les triangles BDE et BAC. On calcule les rapports : BD/BA = 8/12 = 2/3 et BE/BC = 6/9 = 2/3. Comme BD/BA = BE/BC et que les points sont alignés dans le même ordre, les droites (AC) et (DE) sont parallèles.