Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, mobilise des compétences fondamentales pour un élève de Première Spécialité. Il établit un pont crucial entre le calcul algébrique classique et l'outil numérique (tableur), une compétence évaluée tant au Baccalauréat qu'en contrôle continu. L'objectif ici est de passer d'une représentation tabulaire à une expression analytique de fonction, tout en comprenant la logique de programmation par cellule.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées :
- La notion d'image : Comprendre que f(x) est la valeur de sortie pour une valeur d'entrée x donnée.
- Fonctions polynômes : Reconnaître une fonction affine (degré 1) et une fonction de second degré.
- Syntaxe tableur : Identifier qu'une formule commence par '=' et que l'étoile '*' symbolise la multiplication, tandis que l'accent circonflexe '^' ou la multiplication de cellule par elle-même symbolise le carré.
- Adressage relatif : Comprendre que lors du 'recopiage vers la droite', les références de colonnes s'incrémentent (B1 devient C1, D1, etc.).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Image de -3 par f : En observant le tableau, la ligne 1 correspond aux valeurs de x. Pour x = -3 (colonne B), on lit la valeur correspondante sur la ligne 2, dédiée à f(x). On trouve f(-3) = 22.
2. Calcul de f(7) : L'énoncé nous donne un indice majeur dans l'en-tête de la colonne C2 : la formule utilisée est =-5*C1+7. Cela signifie que f(x) est définie par l'expression f(x) = -5x + 7. Pour calculer f(7), il suffit de remplacer x par 7 : f(7) = -5 * 7 + 7 = -35 + 7 = -28.
3. Expression de f(x) : Comme déduit précédemment grâce à l'analyse de la cellule du tableur, l'expression algébrique de la fonction affine est f(x) = -5x + 7.
4. Formule en B3 pour g(x) : On sait que g(x) = x² + 4. Dans le tableur, la valeur de x pour la colonne B se trouve dans la cellule B1. La formule doit donc élever le contenu de B1 au carré et ajouter 4. La syntaxe correcte à saisir en B3 est : =B1*B1+4 ou =B1^2+4. Lors de l'étirement de la formule vers la droite, B1 deviendra automatiquement C1 pour la colonne C, calculant ainsi g(-2) = (-2)² + 4 = 8, ce qui correspond bien aux données du tableau.
Approfondissement pour la Première Spécialité
En Première, on pourrait prolonger cet exercice en étudiant la dérivation de ces fonctions. Par exemple, la dérivée de f est f'(x) = -5 (constante), ce qui confirme le sens de variation décroissant observé dans le tableau. Pour g(x) = x² + 4, la dérivée est g'(x) = 2x. On remarque que pour x < 0, g est décroissante et pour x > 0, g est croissante, avec un minimum atteint en x = 0 (g(0) = 4), ce qui est parfaitement visible dans les données fournies.