Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, extrait du sujet Asie 2019, est un excellent support pour consolider les notions de base sur les fonctions avant d'aborder la dérivation en Première Spécialité. Il met en opposition deux types de fonctions fondamentales : une fonction affine (polynôme de degré 1) et une fonction du second degré (dont la représentation est une parabole). Pour un élève de Première, cet exercice permet de valider la lecture graphique, le calcul d'antécédents et l'utilisation de l'outil numérique (tableur).
Identification des fonctions : Linéarité vs Courbure
La première étape consiste à identifier la représentation graphique de $f(x) = -2x + 8$.
- Nature de la fonction : $f$ est une fonction affine de la forme $ax+b$. Sa représentation est obligatoirement une droite.
- Coefficient directeur : Ici, $a = -2$. Comme $a < 0$, la droite doit être descendante (la fonction est décroissante).
- Ordonnée à l'origine : $f(0) = 8$. La droite doit couper l'axe des ordonnées au point (0 ; 8).
L'observation du repère montre que $C_2$ est une droite descendante passant par 8 en ordonnée. À l'inverse, $C_1$ est une parabole, caractéristique d'un polynôme du second degré (ici de la forme $g(x) = (x-3)^2 - 1$).
Points de vigilance en Première Spécialité
Lors de la résolution, les erreurs classiques portent sur la confusion entre image et antécédent.
- L'image : On connaît $x$, on cherche $y$. On remplace $x$ dans l'expression. C'est une application directe de la formule.
- L'antécédent : On connaît $y$, on cherche $x$. Cela nécessite la résolution d'une équation. Pour une fonction affine, c'est une équation du premier degré simple, mais cela préfigure la résolution d'équations du second degré ($ax^2+bx+c=0$) vue plus tard dans l'année.
Guide de résolution détaillé
Question 1 : La représentation de $f$ est la droite $C_2$, car $f$ est une fonction affine.
Question 2 : Pour $f(3)$, on effectue le calcul $f(3) = -2 \times 3 + 8 = -6 + 8 = 2$. On peut vérifier sur le graphique que le point de coordonnées (3 ; 2) appartient bien à la droite $C_2$.
Question 3 : On cherche $x$ tel que $f(x) = 6$.
On résout $-2x + 8 = 6$
$-2x = 6 - 8$
$-2x = -2$
$x = 1$. L'antécédent de 6 par $f$ est donc 1.
Question 4 : Dans un tableur, toute formule commence par le signe "=". Pour calculer l'image de la cellule B1, on saisit =-2*B1+8. En Première, on fera le lien entre cette logique algorithmique et la programmation Python où l'on définirait une fonction def f(x): return -2*x + 8.
Ouverture sur le programme de Première
Cet exercice permet d'introduire la notion de taux de variation. Le coefficient $-2$ de la fonction affine est en réalité la dérivée constante de cette fonction. Concernant la courbe $C_1$, l'étude de son sommet et de son sens de variation constitue le cœur du chapitre sur le second degré. Maîtriser ces lectures graphiques est un prérequis indispensable pour réussir l'étude de fonctions plus complexes (exponentielles ou rationnelles).