Analyse de l'énoncé et modélisation mathématique
Cet exercice, bien qu'initialement proposé dans un cadre de fin de collège, repose sur un modèle mathématique typique du programme de Première Spécialité : la fonction exponentielle de type $f(x) = ae^{-kx} + b$. Dans ce contexte, $x$ représente la distance à la source sonore, et $f(x)$ le niveau de bruit en décibels. Le terme $+b$ (ici $45$ pour la tondeuse) représente le bruit ambiant résiduel, tandis que le terme exponentiel traduit l'atténuation du son avec la distance. Comprendre cette structure est essentiel pour aborder les problèmes de modélisation en physique et en sciences de l'ingénieur.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :
- Lecture graphique de précision : Identifier correctement les unités sur l'axe des abscisses (1 carreau = 10m ou 5m selon le graphique) et des ordonnées (1 carreau = 10 dB).
- Compréhension des seuils : Savoir traduire une contrainte physique (obligation du casque) par une égalité mathématique ($f(x) = ext{seuil}$).
- Lien avec la fonction exponentielle : Bien que la résolution soit ici graphique, il est intéressant de noter que la fonction décroît vers une asymptote horizontale, ce qui signifie que le niveau sonore ne descendra jamais en dessous du bruit ambiant.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Analyse de la tondeuse à gazon :
a) Pour une distance de $100$ mètres, on se place sur l'abscisse $x=100$. En remontant verticalement jusqu'à la courbe, puis horizontalement vers l'axe des ordonnées, on lit environ $47$ décibels. (Le calcul précis donne $50e^{-0.035 imes 100} + 45 \approx 46,5$ dB).
b) Pour un niveau de $60$ décibels, on part de l'ordonnée $y=60$. En suivant l'horizontale jusqu'à la courbe puis en descendant vers l'axe des abscisses, on trouve une distance d'environ $35$ mètres.
2. Comparaison des machines industrielles :
Le point clé est que le port du casque est obligatoire pour un même niveau de bruit sur les deux machines.
Étape 1 : Déterminer ce niveau de bruit via la Machine A. À $5$ mètres de la machine A ($x=5$), la lecture graphique nous donne un niveau de bruit d'environ $88$ décibels.
Étape 2 : Appliquer ce seuil à la Machine B. Sur le graphique de la machine B, on cherche l'abscisse correspondant à l'ordonnée $y=88$. On constate que cette valeur est atteinte pour une distance d'environ $9$ à $10$ mètres.
Conclusion : Pour la machine B, le port du casque est obligatoire à moins de $9$ mètres environ.