Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de type Diplôme National du Brevet (DNB), constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en arithmétique et en géométrie dans l'espace, indispensables pour aborder des chapitres plus complexes comme les suites numériques ou la géométrie repérée. La première partie traite de la décomposition en produits de facteurs premiers, une technique cruciale pour la simplification de fractions et la résolution de problèmes d'optimisation (recherche du plus grand commun diviseur, PGCD). La seconde partie se concentre sur l'application concrète des formules de volume et la manipulation des pourcentages, des compétences transversales en mathématiques.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées :

• Décomposition en facteurs premiers : Tout nombre entier supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11...).
• Optimisation (PGCD) : Pour répartir des objets en lots identiques sans reste, on cherche un diviseur commun. Pour maximiser le nombre de lots, on cherche le PGCD.
• Volumes et conversions : Il est impératif de se souvenir que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$. Les calculs s'effectuent souvent en $\text{cm}^3$, nécessitant une division par 1000 pour obtenir des litres.
• Proportions : Calculer une fraction d'un volume (les $4/5$) et appliquer une réduction en pourcentage (multiplier par $1 - p/100$).

Correction détaillée et guide de résolution

Partie A : Arithmétique

1. Décomposition de 300 : La proposition 1 est fausse (15 n'est pas premier). La proposition 3 est fausse ($22$ n'est pas premier). La Proposition 2 est la bonne : $2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$ (ou $2^2 \times 3 \times 5^2$).

2. Décomposition de 350 : $350 = 35 \times 10 = (7 \times 5) \times (5 \times 2) = 2 \times 5^2 \times 7$.

3. Nombre maximal de lots : On cherche le PGCD de 300 et 350. En utilisant les décompositions : $300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$ et $350 = 2 \times 5^2 \times 7$. Les facteurs communs sont $2$ et $5^2$. $PGCD(300, 350) = 2 \times 25 = 50$. La responsable peut faire 50 lots.

4. Composition des lots : Poissons A : $350 / 50 = 7$. Poissons B : $300 / 50 = 6$. Chaque lot contient 7 poissons A et 6 poissons B.

Partie B : Géométrie et Gestion

1. Choix de l'aquarium : Pour l'aquarium 1 (cylindre), le rayon est de $15 \text{ cm}$. $V = \pi \times 15^2 \times 25 \approx 17671 \text{ cm}^3 = 17,67 \text{ L}$. Rempli aux $4/5$, il contient $17,67 \times 0,8 \approx 14,1 \text{ L}$. C'est insuffisant pour les 15L requis. Pour l'aquarium 2 (pavé), $V = 28 \times 28 \times 30 = 23520 \text{ cm}^3 = 23,52 \text{ L}$. Rempli aux $4/5$, il contient $23,52 \times 0,8 = 18,816 \text{ L}$. On choisit donc l'Aquarium 2.

2. Calcul du prix final : Total avant remise : $15 + 40 = 55$ €. Application de la remise de 15% : $55 \times (1 - 0,15) = 55 \times 0,85 = 46,75$ €. La famille paiera 46,75 €.