Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Il balaie des compétences transversales essentielles : la logique de démonstration (Vrai/Faux), l'arithmétique élémentaire, les priorités opératoires et la géométrie pythagoricienne. En Spécialité Mathématiques, la rigueur dans la justification est primordiale pour obtenir l'intégralité des points.

Points de vigilance et notions requises

• Arithmétique : Savoir identifier un nombre premier et comprendre la notion de multiple (tout produit d'un nombre par un entier).
• Calcul littéral et priorités : Respecter la priorité de la multiplication sur l'addition et la soustraction.
• Réciproque de Pythagore : Maîtriser le passage au carré pour vérifier l'orthogonalité.

Correction détaillée

Affirmation 1 : Fausse.
Tout couple de nombres entiers possède une infinité de multiples communs. Par exemple, le produit 11 × 13 = 143 est un multiple commun à 11 et 13.

Affirmation 2 : Fausse.
Un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même. Pour 231, la somme des chiffres est 2 + 3 + 1 = 6. Comme 6 est divisible par 3, alors 231 est divisible par 3 (231 = 3 × 77). Il n'est donc pas premier.

Affirmation 3 : Vraie.
Calculer le tiers de 6/15 revient à effectuer l'opération : (1/3) × (6/15) = (1 × 6) / (3 × 15) = 6/45. En simplifiant par 3, on obtient 2/15.

Affirmation 4 : Fausse.
En respectant les priorités opératoires, on calcule d'abord la multiplication : 15 - (5 × 7) + 3 = 15 - 35 + 3 = -20 + 3 = -17. On est loin de 73.

Affirmation 5 : Vraie.
Vérifions l'égalité de Pythagore dans le triangle ABC. Le plus long côté est AC. On calcule séparément :
AC² = 7,5² = 56,25
AB² + BC² = 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25.
Puisque AC² = AB² + BC², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en B.