Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une étude comparative de trois programmes de calcul. Deux sont présentés sous forme de scripts Scratch (Programmes A et B) et le troisième sous forme de liste d'instructions (Programme C). L'objectif est de traduire ces algorithmes en fonctions numériques, de les comparer et de résoudre des équations associées.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Modélisation algorithmique : Savoir traduire un bloc de programmation en expression mathématique $f(x)$.
• Développement et réduction : Savoir simplifier une expression comme $3(x+1)-3$ pour identifier la nature de la fonction.
• Équation produit nul : Maîtriser la règle selon laquelle un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul ($A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Analyse des programmes pour des valeurs numériques :

• Programme A avec 1 : $1 \to 1+1=2 \to 3 \times 2=6 \to 6-3=3$. L'affichage est bien "On obtient 3".
• Programme B avec 2 : Valeur 1 = $2+3=5$ ; Valeur 2 = $2-5=-3$ ; Résultat = $5 \times (-3) = -15$. L'affichage est bien "On obtient -15".

2. Expression littérale du Programme C :

Soit $x$ le nombre de départ : $x \to 7x \to 7x+3 \to 7x+3-x$. L'expression simplifiée est $6x + 3$.

3. Identification du triple du nombre :

Traduisons le programme A en expression littérale : $x \to x+1 \to 3(x+1) \to 3(x+1)-3 = 3x+3-3 = 3x$. Le programme A donne effectivement toujours le triple du nombre de départ. L'élève a raison.

4. Équation et Programme B :

• Résolution : $(x+3)(x-5)=0 \implies x+3=0$ ou $x-5=0$. Les solutions sont $x = -3$ et $x = 5$.
• Lien avec le programme B : Le programme B correspond à l'expression $(x+3)(x-5)$. Pour obtenir 0, il faut donc choisir -3 ou 5 au départ.

5. Comparaison C et A :

On cherche $x$ tel que $6x + 3 = 3x$. En isolant $x$ : $6x - 3x = -3 \implies 3x = -3 \implies x = -1$. Le programme C affiche le même résultat que le programme A si le nombre de départ est -1.